X (S): Pesate col contagocce

Pesate col contagocce

Il problema della domenica appare subito ostico. Addirittura viene il dubbio che possa essere risolto. Ci si chiede se, avendo a disposizione una bilancia a due piatti, 12 monete apparentemente identiche di cui una falsa con un peso diverso dalle altre (o maggiore o minore non sappiamo), è possibile stabilire con 3 sole pesate quale sia la moneta falsa e se sia più pesante o leggera delle altre. 

La soluzione me l'ha detta un vecchio professore di Algebra, un signore molto particolare che nemmeno il più audace Nanni Moretti avrebbe potuto dipingere. Sembrava vivere in un mondo tutto suo, sempre accompagnato da un diligentissimo barboncino bianco. Le soluzioni più eleganti di problemi di algebra, probabilità e combinatoria sembrava le sognasse di notte. Non veniva spesso a tagliarsi i capelli da me, li aveva sempre scombinati come Beethowen nei classici ritratti pervenuti.

La soluzione è la seguente:

• Prima Pesata

Divido le monete in tre gruppi da 4 e ne confronto 2.

• Seconda Pesata

A questo punto abbiamo due possibilità: o la bilancia è in equilibrio oppure un piatto pesa più dell'altro.

2a Supponiamo che le otto monete confrontate pesino uguale. Quindi sono tutte buone e le indicheremo d'ora in poi con B. Mentre nel gruppo rimasto fuori ci deve essere quella falsa. Le quattro monete di questo gruppo le denoteremo con F.

Confrontiamo quindi in questa pesata tre delle false con tre delle buone. Cioè

FFF-BBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2a1  FFF<BBB

2a2  FFF>BBB

2a3  FFF=BBB

Consideriamo che si presenti il caso 2a1: vuol dire che tra le tre monete F, c'è quella falsa ed è più leggera delle altre. A questo punto basta prenderne due di quel gruppo di tre ed il finale è identico a quello del problema delle 9 monete: ne confronto una e una e se il piatto è in equilibrio, la moneta falsa è quella rimasta fuori. Altrimenti la moneta è quella che rimane nel piatto più alto della bilancia.

Se si presenta il caso 2a2, procediamo alla stessa maniera.

Se si presenta il caso 2a3, la moneta falsa è la F rimasta fuori. A questo punto la confronto con una buona B per capire se è più pesante o più leggera. 

Questo conclude il caso 2a.

2b Supponiamo che le quattro monete del piatto di destra siano più pesanti delle quattro monete del piatto di sinistra. 

Quindi la falsa potrebbe essere o tra le prime quattro (che indicheremo PPPP) se è più pesante, o tra le altre quattro (che indicheremo con LLLL) se è più leggera.

Con la seconda pesata confronto allora le monete scelte, tra buone, presunte pesanti e presunte leggere in questo modo:

PLLL-LBBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2b1  PLLL<LBBB

2b2  PLLL>LBBB

2b3  PLLL=LBBB

Se si presenta il caso 2b1 allora vuol dire che la moneta falsa è tra le tre L (più leggere). Allora ne prendo due e, come prima, le confronto. Se pesano uguale quella falsa era quella esclusa, altrimenti è quella più leggera tra le due.

Se si presenta il caso 2b2 allora vuol dire che o la moneta falsa è più leggera ed è la L del piatto di destra o è più pesante ed è la P del piatto di sinistra. Prendo un moneta buona B e la confronto con una delle due. Anche in questo caso dall'esito riesco a risalire alla moneta fasulla.

Se si presenta il caso 2b3 vuol dire che la moneta falsa è più pesante ed è una delle tre rimaste fuori del gruppo delle P. Ne prendo due e le confronto tra loro, arrivando anche in questo caso alla moneta falsa in sole tre pesate.

Tutto sommato non è nemmeno così difficile come sembrava in un primo tempo... mi chiedo se un pescatore con lobby della matematica sarebbe in grado di capirla... lo saprò presto!

Intanto lo saluto qui dalla bottega, che se è ancora aperta, è soprattutto merito suo!

X: Pesate con il contagocce

Pesate con il contagocce

Ogni tanto mi piace venire in bottega anche la domenica mattina. Non per un particolare attaccamento al lavoro, sia chiaro, ma per vivere quell'atmosfera di piazza che solo un paese sa darti la domenica mattina. La gente si incontra per fare una rendicontazione dettagliata di quello che ha vissuto durante la settimana, per svelare all'amico fidato le scommessa vincente su una partita di campionato, per respirare un po' di aria sana che solo la domenica mattina porta con sé.

Stavo rimettendo a posto un po' il locale quando due signori, poco fuori, discutevano animatamente. Sembrava un chiaro caso di truffa. Il signor Romano era andato a comprare della pasta fresca, dei ravioli fatti in casa. Aveva speso 9 euro, pagandoli con 9 monete da un'euro. Il signor Rossi, al bancone, che ne sa una più del diavolo, aveva il sospetto (forse per la poca stima e considerazione che da sempre celava nei confronti del signor Romano) che una di quelle monete fosse falsa. E non aveva mancato di dirglielo. 

"Ma le sembra possibile che vengono a comprare 9 euro di ravioli- di discutibile qualità aggiungerei- con dei soldi falsi?"

"Da lei ci sarebbe da aspettarsi questo e altro..."

"Non è possibile che siano falsi- aggiunse l'edicolante- per lo meno non tutti!"

"Come fai a saperlo?" chiese subito Rossi.

"Perché è venuto a comprare la Repubblica, e nel borsello aveva solo 1euro. Quindi mi ha pagato con una banconota da 10. 8 monete da un euro gliele ho date io..."

"Secondo me voleva rifilarti quella moneta... poi si è accorto che non arrivava a pagarti l'importo esatto con quella, così ora la vuole rifilare a me! Quindi in queste 9 monete c'è la sua moneta falsa..." commentava ad alta voce Rossi per farsi sentire da tutti, mettendo in cattiva luce il povero Romano.

"A guardarle- subentrai nella discussione- sembrano tutte uguali, non c'è che dire."

"Si- ma precisò l'edicolante- quelle false è risapute che vengono fatte con una particolare lega di ferro e sono di qualche grammo appena più pesanti"

"Beh poco male. C'è qui il sig. Rosciolo, orafo da sempre, che ha una bilancia di precisione. Chiediamo se ci fa controllare le monete." Questa la trovata del signore della pasta fresca.

"Ma voi lavorare un po' invece di rompere i coglioni di prima mattina?" salutò l'orefice "Che volete?"

"Vorremmo solo usare un attimo la tua bilancia di precisione per controllare alcune monete."

"Questa è una bilancia a due piatti, non ti dice il peso, ti confronto con esattezza i pesi dei due piatti, dicendoti se hanno lo stesso peso oppure uno, anche se solo di mezzo grammo, è più pesante o più leggero dell'altro. Non fa altro."

"Io penso che vi basti" commentai...

"Si ma visto che mi fate perdere tempo- aggiunse il sig. Rosciolo con l'anima sempre presente del mercante- vi faccio pagare 2€ a pesata. Almeno in ogni caso la prossima volta ci pensate prima di venire a darmi noia."

Il signor Rossi, pur di vedere umiliato e colto in fallo il suo compaesano, decise di accettare la proposta. Non esitò nemmeno un attimo. Divise le 9 monete in 3 gruppi da 3. Fece una prima pesata. Pensò un attimo. Fece una seconda pesata con una moneta per parte. E poi disse di aver trovato la moneta falsa... 

Il sistema usato dal commerciante di pasta fresca in effetti, al solo costo di 4€, sembrava funzionare! (ammesso che ci fosse la moneta falsa, povero sig. Romano!).

Qualcuno del paese aveva però sentito dire- chissà dove- che le nuove monete false, fatte ancora con maggior attenzione, avevano il peso di poco differente da quelle vere. Ma non si sapeva se tale peso fosse maggiore o minore dell'originale. 

In effetti io avevo ancora una bilancia a due piatti nel negozio (se lo sa il sig. Rossi dopo quanto ha dovuto spendere non mi vende più niente!). Il prezzo di un taglio qui da me è di 12 € (sono un barbiere onesto... a differenza del mio dirimpettaio). Se un cliente mi pagasse con 12 monete da un euro di cui una falsa, riuscirei con sole 3 pesate, a individuarla?

Molto probabilmente per un euro non avrei fatto tutto il casino del mio vicino di negozio... ma uno deve pur passare la domenica mattina e questo rompicapo mi sembra divertente.

Riassumiamo veloce la questione: abbiamo di fronte 12 monete perfettamente identiche. Una di esse però è falsa e pesa o poco di più o poco di meno delle altre. Per trovarla abbiamo a disposizione una bilancia a due piatti, che semplicemente confronta con precisione il peso del piatto di destra con il peso del piatto di sinistra. Con solo 3 pesate è possibile individuare la moneta fasulla e dire se è più leggera o più pesante delle altre?

IX (S): Vuole un taglio particolare?

Vuole un taglio particolare?

Il quesito con cui il signor Bernardino ci aveva lasciato l'ultima volta era molto affascinante. Si chiedeva se una torta (il cui spessore veniva considerato uniforme in tutta la sua superficie) di forma irregolare (immaginiamola come una superficie delimitata da una curva semplice chiusa), potesse essere divisa in quattro parti equivalenti con due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro.

La soluzione arrivò il giorno dopo, con il primo cliente della mattina (e a lui chi lo aveva detto il quesito? ma si sa il paese è piccolo). Un signore in apparenza simpatico. Brizzolato e con la barba da maestro di yoga. La soluzione, come disse lui, non può essere capita da tutti. Ci vuole di essere un po' del mestiere (quale?). Comunque ve la riporto, per come l'ho capita io. 

Il concetto fondamentale sui cui si basa è il teorema (scusate il termine non proprio da parrucchiere) degli zeri. Questo stabilisce che una funzione continua (oggi bisogna che usi le parole di questo signore se no poi quelli del mestiere si arrabbiano), se prima è positiva e poi è negativa- o viceversa- prima o poi vale anche a zero. Un po' come dire che se con l'ascensore parti dal piano -2 per arrivare al piano 4, devi per forza passare anche dal piano terra...

Partiamo da un preliminare (anche in matematica in genere si comincia così...). Prendiamo una superficie chiusa qualsiasi come quella in figura. Scegliamo una qualsiasi direzione del piano. Per semplicità (ma non cambierebbe nulla facendo diversamente) quella orizzontale. Facciamo vedere che esiste una retta r con quella direzione che taglia in due parti equivalenti la superficie. Chiamiamo A la parte della superficie sopra la retta e B quella sotto. E' facile vedere che queste due parti variano con continuità al variare della posizione della retta r (che è per esempio univocamente determinata dalla direzione e dalla distanza x dal punto più basso della superficie) nel piano. Definiamo f(x)=A(x)-B(x), ovvero la differenza delle superfici superiore e inferiore quando la retta r si trova a distanza x dalla parte più bassa. E' evidente che f(0)=A(0)> 0 in quanto  è uguale all'intera superficie (B(0)=0). Se calcoliamo la funzione nel punto "più in alto" della superficie, chiamiamolo h, sia ha f(h)=A(h)-B(h)=-B(h). Che è l'opposto dell'intera superficie. Quindi poiché in 0 e h la funzione f assume valore discordi, deve esistere un punto c con 0<c<h tale che f(c)=0, ovvero A(c)-B(c)=0. Ovvero A(c)=B(c). Non è difficile notare che la retta r in questione è unica! Questo conclude il preliminare. Attenzione a non stancarvi troppo con i preliminari perché se no vi perdete la parte interessante...

Abbiamo quindi fatto vedere che scelta una direzione posso trovare una (e una sola) retta con quella direzione che divide la superficie in due parti equivalenti. Posso quindi, applicando due volte questo ragionamento trovare due rette ortogonali tra loro (facciamo finta che siano proprio gli assi cartesiani) con tale proprietà. A questo punto la superficie risulta divisa in 4 regioni. Chiamiamole seguendo i quadranti del piano cartesiano A,B, C, D come nella figura che segue.

Poiché le rette x e y dividono la superficie in due parti uguali, è chiaro che

A+B= C+D e B+C=A+D. Da questi, con conti che ho capito persino io, si ricava che A=C e B=D.

A questo punto escogitiamo questo trucchetto. Chiamiamo x l'angolo che l'asse delle ascisse forma con l'orizzontale. Per ogni x è chiaro che posso trovare un sistema di assi cartesiani con l'asse delle ascisse inclinato di x rispetto all'orizzontale. Chiamo f(x)=A(x)-B(x). Consideriamo la situazione della figura sopra con x=0. Se f(0)=0, come nel preliminare, sarei arrivato alla conclusione cercata. Altrimenti, supponiamo che f(0)=A(0)-B(0)>0. Facciamo ruotare gli assi di 90 gradi in senso antiorario. Per l'unicità delle singole rette, gli assi, seppur con nomi invertiti, tornano a coincidere con quelli precedenti. Ma attenzione, perché avevamo detto il nome dei riquadri seguiva quello consueto di un sistema di riferimento cartesiano (intendo dire che la regione A è sempre quella che sta nel primo quadrante, la B nel secondo, e così via...). La situazione è quella nella figura che segue:

Calcoliamo f(90)=A(90)-B(90). Ma, confrontando le due figure, si osserva che A(90)=B(0) e B(90)=C(0). Quindi f(90)=B(0)-C(0). Ma avevamo detto che C=A, quindi f(90)=B(0)-A(0) che è esattamente l'opposto di f(0). Dal teorema degli zeri segue che esiste una angolo c tra 0 e 90 gradi, per il quale f(c)=0, ovvero che B(c)-A(c)=0, ovvero A(c)=B(c). Mettendo insieme questa uguaglianza a quelle sopra si ha che per questo angolo, il sistema cartesiano corrispondente, taglia la figura in quattro parti equivalenti. 

La spiegazione fu convincente... però avevo una domanda da fare ancora a questo simpatico signore. "Ho capito che, in linea teorica, è possibile farlo, ma come lo effettuo veramente un simile taglio...?"

"Dé...mica sarai pisano? te pensa a fare il barbiere... che a quest'altre cose meglio che ci si pensa noialtri!"

"A che serve sapere di poter fare una cosa, se uno comunque non sa come praticamente come farla? Pensa a questo fatto... tu potenzialmente potresti piparti Belen. E' facile dimostrare che ci sarebbero tutti i presupposti e gli attrezzi per farlo... ma poi in pratica..."

"... in pratica si rimane uomini di polso fino in fondo!"

Che personaggio!

IX: Vuole un taglio particolare?

Vuole un taglio particolare?

La giornata in bottega stava volgendo al termine. Non era successo niente di particolare tutto il giorno. I soliti clienti dell'inizio settimana, le solite smadonnate per le partite di calcio e la pesantezza insita in ogni inizio settimana. Mi chiedo spesso quante frustrazioni si eviterebbero semplicemente facendo iniziare la settimana da Giovedì o Venerdì... Prima o poi magari lo faranno.

La notizia che andava per la maggiore era quella del decadimento di un politico importante. Non ricordo il nome, non mi sono mai interessato a queste futilità. La conclusione però unanime di tutti i presenti fu una sorta di proprietà onto-commutativa: cambiando i politici al potere i risultati non cambiano. In pratica, gira che ti rigira, sono sempre loro a spartirsi la torta. Riescono sempre a trovare il modo di far quadrare i conti. Di tagliarla come meglio li aggrada. Forse stavo pensando ad alta voce visto che ad un tratto...

"Bella questa immagine della torta" mi rispose ad alta voce il cliente che stavo rasando.

"Beh, caro Bernardino, non è che sia una gran novità come immagine..." rispose stizzito uno che aspettava in una sedia.

"No, no... quello no... ma, mentre venivo accarezzato dal rasoio, con gli occhi chiusi sulla poltroncina, stavo immaginando questa torta... strana di forma... con quattro politici voraci intorno... che se la vogliono spartire..."

"Allora? Non vedi che è il solito magna magna?" Si aggiunse un terzo, distogliendo appena lo sguardo dal giornale.

"Quello che mi domandavo, visto le richieste esose dei nostri politici, era questo... si vogliono dividere questa torta in 4... ma non si accontentano di un'equa (ragioniamo semplicemente in termini di superficie) divisione, vogliono farlo con due tagli soltanto, semplici ed eleganti. Due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro!"

"Ma drogarti come tutti? Un po' di sano alcolismo?" Replicò il signore di prima...

"Non mi sembra un quesito tanto complicato- intervenni quasi senza volerlo nell'accesa discussione- basta prendere la torta e fare un primo taglio seguendo un diametro e l'altro nel diametro perpendicolare al primo, no?"

"Beh- rispose subito Bernardino- quello lo puoi fare se la torta ha una superficie circolare (trascuriamo lo spessore, quello possiamo considerarlo uniforme)... quello che mi chiedevo io è se sia sempre possibile tagliare una torta, anche di forma irregolare, in 4 parti uguali, con due tagli rettilinei perpendicolari tra loro..."

"Ah... questo è un altro discorso... " Mi chiusi in un imbarazzato silenzio, soprattutto per aver dubitato che Bernardino, uomo noto per acume e intelligenza, avesse potuto proporre un quesito ridicolo come quello che avevo pensato all'inizio..."

La questione non è semplice... sempre che sia possibile. Se come al solito qualcuno ha un'idea, qui in bottega è sempre il benvenuto. 

VIII (S): Indovina chi viene a cena

Indovina chi viene a cena

E' passato un po' di tempo dall'ultima volta che ci siamo visti in bottega. Ho avuto un po' da fare nel frattempo: corsi di aggiornamento per nuove acconciature, seminari su balsami miracolosi, stage non retribuiti su come dare cento colpi di spazzola a qualche cliente arrivista... In una di queste trasferte, mentre ero a Londra, riferii il quesito dell'ultima volta ad un energumeno palestrato italiano che viveva da un po' di anni lì insegnando chimica, biologia e simili ai piccoli delinquenti inglesi. Un tipo simpatico, nonostante l'aspetto poco rassicurante. Sicuramente una brava persona.

Il quesito, per chi se lo fosse dimenticato (dubito!), era il seguente: quattro amici, due ragazzi e due ragazze, decidono di passare una serata divertente e vogliono avere tutti i rapporti etero possibili protetti. Dispongono però soltanto di due preservativi che, loro malgrado, sono costretti a usare più di una volta. Come devono fare per evitare rischi di possibili contagi.

 Il tipo italo-inglese si chiamava Andrea e, tanto divertito quanto incuriosito dall'insolita questione, propose la seguente elegante (come la cena) soluzione. Per semplicità chiamiamo i due maschi M1 e M2 e le due ragazze F1, F2. I due preservativi presentano in tutto quattro superfici separate, ognuna delle quali dovrà sempre entrare in contatto con la stessa persona. Basterà procedere così: M1 si mette entrambi i preservativi, uno sopra l'altro (se così facendo, si ha una sostanziale aumento delle dimensioni dell'attrezzo, porsi qualche problema...), e andrà con F1. Quindi si toglie il preservativo più esterno e va con F2. In questo modo lui ha utilizzato una sola superficie del primo preservativo mentre le ragazze le due superfici esterne di entrambi. A questo punto M2 prende il preservativo che si è tolto all'inizio M1 (la cui superficie interna era stata a contatto soltanto con il preservativo interno) e va con F1 (che quindi riusa la stessa superficie), poi infila l'altro preservativo sopra a quest'ultimo e va con F2. Così è risolto il problema.

Convinti? Provare per credere!

VIII: Indovina chi viene a cena

Indovina chi viene a cena

Era quasi l'ora di chiusura, quando nella bottega si è presentato un ragazzo con un'aria tanto eccitata quanto pensierosa. Era venuto a farsi l'ultimo taglio della serata, anche se- a dire il vero- andare a casa qualche minuto prima oggi non mi sarebbe dispiaciuto affatto. Appena uscito il signore prima di lui, ha guardato con attenzione la porta come a controllare che fosse ben chiusa e che non ci fosse nessuno nel locale. Lì per lì ho pensato che mi volesse rapinare o qualcosa del genere. Così, per rompere un po' il ghiaccio, ho iniziato con i convenevoli. Era un ragazzo di una venticinquina d'anni, anche lui come molti, qui nel paesino per la vacanza estiva. Una volta un po' entrato in confidenza chiedo qual è il problema che sembra crucciarlo e non dargli tregua. "Niente, niente" si affretta a rispondere. Ma era chiaro come l'acqua che stesse dicendo una cazzata. "Meglio così, risposi io..." lasciando cadere il discorso. A un certo punto però, sentendosi in ambiente amico, mi racconta uno dei più strani quesiti che io abbia mai sentito. 

"Il fatto è- comincia a raccontare- che questa serata abbiamo organizzato una cena piccante"

"In che senso?" domandai, quasi sicuro che non riguardasse qualcosa di prettamente gastronomico.

"Nel senso che siamo due ragazzi e due ragazze decisi a passare una bella serata..."

"Buon per voi. Non vedo quale sia il problema"

"A dirla così in effetti nessuno... mi vergogno un po' a dirtelo, ma magari mi potresti dare una mano a trovare una soluzione"

"Dimmi pure" mi affrettai incuriosito.

"Il fatto è che... stasera avevamo intenzione di divertirci... insomma... "

"droga, alcol, sesso?" provai ad aiutarlo.

"ecco... l'ultima che hai detto!"

"Beh un buon modo direi per passare 5 minuti mi sembra"

"Si, il fatto è che volevamo fare qualcosa di diverso. Ovvero avere tutti i rapporti etero possibili."

(Che resistenza pensai... ma a parte quello, dove è il problema?)

"Beati voi che siete giovani... se ancora ci riuscite ben venga..."

"Si, ma la farmacia è chiusa e abbiamo soltanto due preservativi e vogliamo avere tutti rapporti rigorosamente protetti!"

"mmmm... se la matematica non è un montino di brecce, come direbbe un mio vecchio compagno di classe, i rapporti in tutto sono 4 e i profilattici a disposizione sono 2. Giusto?"

"Giusto... e non vorremmo lasciarci sfuggire un'occasione così... hai visto mai ci ripensino le ragazze..."

"Ma non avete problemi, per quanto molto inusuale, a usare più volte un preservativo?"

"No no... quello è il meno. Purché ognuno non entri mai in contatto diretto con la superficie usata da un altro."

"Questo è un bel problema di topologia sembrerebbe..."

"Che non si fa per la topologia" aggiunse poco convinto di quello che stesse dicendo l'altro.

 

Ricapitolando velocemente il problema. Due ragazzi e due ragazze vogliono avere tutti e 4 i rapporti etero possibili. Dispongono soltanto di due preservativi che sono disposti a utilizzare più volte alla sola condizione però che nessuno entri mai in contatto con la superficie che in qualche rapporto è stata usata da uno degli altri. C'è un modo? La soluzione, per quanto inusuale, sembra esserci...

VII (S): Fidarsi è bene...

Fidarsi è bene...

Il problema riguardante il sorteggio a distanza per quale giocatore dovesse fare la prima mossa in una partita a scacchi via internet è il seguente: avendo a disposizione soltanto un pc, con relativa calcolatrice, è possibile trovare un metodo per avere un sorteggio equo tra due persone? O meglio, si riesce, tramite l'aritmetica, a simulare il lancio di una moneta?

Nel negozio stava aspettando pazientemente il suo turno leggendo un giornale un signore canuto con uno spiccato accento francese. Si chiamava Marco e si autodefiniva un esperto di matematica. Ascoltando la conversazione il suo sguardo ebbe come un lampo subitaneo che lo attrasse quasi suo malgrado dentro alla discussione.

"La risposta è nei numeri primi. Possiamo utilizzare un metodo che assomiglia molto a quello utilizzato per proteggere i nostri conti in banca e le nostre password."

"Cioè mettere i pallini neri al posto delle lettere e dei numeri" tentò di intromettersi l'ingenuo scacchista.

Ma, fingendo di non avere ascoltato, il vecchietto proseguì:

"Ogni numero primo, eccetto il 2, è dispari, di conseguenza quando si divide per 4 i due possibili resti sono 1 o 3. Queste due tipologie di numeri (i matematici più audaci possono tentare la dimostrazione) hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali. Ovvero sono due insiemi infiniti."

Faccio fatica a capire dove vuole andare a parare. 

"Il fatto che i numeri primi si dividano in questi due gruppi, ci potrebbe suggerire l'idea di associare- ad esempio- l'evento Esce testa a quelli che divisi per 4 danno resto 1 e l'evento Esce croce a quelli che divisi per 4 danno resto 3."

"Beh non mi sembra una grande idea in ogni caso." Mi permetto di osservare. "Una volta che uno sceglie un numero primo, per quanto grande, è facile capire qual è il suo resto quando viene diviso per 4... basta controllare le ultime due cifre..."

"Si questo è vero, prendendo un numero primo soltanto la situazione non sembra migliorare. Ma osserva che succede se prendiamo due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 e li moltiplichiamo tra loro."

"Che succede?"

"Se un numero diviso per 4 dà resto 1 vuol dire che è della forma: 4n+1 con n numero naturale. Allora siano 4a+1 e 4b+1 questi due numeri. Moltiplicandoli si ottiene: 

(4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1. 

Quindi moltiplicando due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 si ottiene ancora un numero che diviso per 4 dà resto 1."

Bah se l'età fa questo effetto mi comincio a preoccupare da subito... 

"E ora prendiamo due numeri dell'altro gruppo, quelli che divisi per 4 danno resto 3 e moltiplichiamoli tra loro. Che succede?"

"Se ho capito bene- intervenne lo scacchista sprovveduto- daranno un numero che diviso per 4 dà resto 3..."

Ancora facendo finta di non sentire, ma visibilmente irritato, proseguì:

"Se un numero diviso per 4 dà resto 3 vuol dire che è della forma 4n+3, con n numero naturale. Allora siano 4a+3 e 4b+3 questi due numeri e come prima moltiplichiamoli:

(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=16ab+12a+12b+8+1=4(4ab+3a+3b+2)+1

Quindi moltiplicando due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 si ottiene anche in questo caso un numero che diviso per 4 dà resto 1!"

Forse la luce in fondo al tunnel...

"Quindi per fare un sorteggio via chat possiamo metterci d'accordo in questo modo. Stabiliamo come prima a quale gruppo di primi associare l'evento Testa e a quale quello Croce. Dopodiché io prendo due numeri primi da uno stesso gruppo, a mio piacere, molto grandi e, aiutandomi con la calcolatrice del pc, li moltiplico tra loro. Invio il risultato tramite chat al mio avversario che, in meno di 5 secondi (per evitare dubbi sull'utilizzo di altri software collaterali) mi deve dire se sceglie testa o croce (o similmente primi con resto 1 o primi con resto 3). Una volta che il mio avversario ha fatto la sua scelta io gli spedisco via chat i due primi che ho moltiplicato tra loro. Se i due primi erano del gruppo che aveva scelto lui, spetta a lui fare la prima mossa, altrimenti i bianchi toccheranno a me."

Però... mica male il vecchietto! 

Riflettevo tra me e me sul perché prendere i numeri primi per fare una cosa del genere quando in fondo posso fare un ragionamento del tutto identico usando al loro posto due numeri dispari qualsiasi (il che bypassa completamente un dettaglio non trascurabile come la dimostrazione- la prima delle quali dovuta a Dirichlet- del fatto che ci siano tanti numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 quanto quelli che divisi per 4 danno resto 3... ).

Il problema è che se si prendono due numeri dispari non primi le scomposizioni in coppie di fattori non è più unica... e forse c'è il rischio di avere trovato un rimedio peggiore del male.

E che la vecchiaia porti anche a me un po' di saggezza...