IV (S): Pesate complicate
Il problema delle pesate, a differenza di quelli posti precedentemente, non sembra semplicissimo. Almeno a prima vista. Con una bilancia a due piatti (vedi foto) si devono pesare oggetti di peso compreso tra un grammo e 499 grammi, con un errore non superiore a 1 grammo. Qual è il minimo numero di pesi campione necessari per tale scopo, sapendo che non si possono mettere pesi nel piatto su cui poggia l'oggetto da pesare? Questo era quanto richiesto.
Poiché l'errore che si può commettere in ogni pesata è di un grammo, basta scegliere i pesi campione in modo tale da potere esprimere con le loro combinazioni, tutti i pesi pari da 2 a 498.
Di questo, nella bottega se ne era accorto un distinto signore con uno spiccato accento spagnolo. Tale Carles. Che mi aveva fatto notare che prendendo come pesi campioni i pesi 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 grammi, sarei stato in grado effettivamente di pesare tutti gli oggetti nel range di peso richiesto. Vispo il ragazzetto spagnolo!
In questo periodo di crisi però, volevo anche essere sicuro che utilizzando meno 8 pesi il mio compito sarebbe stato impossibile. Se ci fosse stato modo di risparmiare un pochino...
Vediamo in maniera abbastanza semplice, perché non posso comprare meno di 8 pesi per utilizzare propriamente la mia bilancia.
Se ho a disposizione n pesi e ne posso scegliere h tra questi, con questi n pesi posso ottenere al più
Quindi usando tutti gli n pesi posso ottenere al più
Richiamando la formula del binomio di Newton (applicato al caso banale a=b=1) si ha
Da queste ultime considerazioni segue immediatamente che
Segue che se bastassero n < 8 pesi campioni, si avrebbe p(n) < 128. Siccome gli oggetti da pesare oscillano da 1 grammo a 499 grammi e l'errore massimo permesso è di un grammo (in più o in meno), se fossero bastati 7 pesi campione si sarebbe coperto un intervallo di ampiezza 499 con al massimo 127 intervallini di lunghezza 2. Chiaramente questo è impossibile anche per il mio dirimpettaio, poiché 2 x 127 < 499.
In ogni caso, visto che mi ero prefisso il limite di 10 pesi campione al massimo per procedere all'acquisto del prodotto del rappresentante, ho mantenuto la parola, per la felicità dei miei clienti.
E al giovanotto spagnolo, visto che ha risolto solo per metà il problema, farò il 50% di sconto sul prossimo taglio. La crisi, d'altronde, è crisi per tutti!
Buon Anno!
La bottega chiude fino all'inizio del 2013. Giorno più, giorno meno!
