Vuole un taglio particolare?
Il quesito con cui il signor Bernardino ci aveva lasciato l'ultima volta era molto affascinante. Si chiedeva se una torta (il cui spessore veniva considerato uniforme in tutta la sua superficie) di forma irregolare (immaginiamola come una superficie delimitata da una curva semplice chiusa), potesse essere divisa in quattro parti equivalenti con due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro.
La soluzione arrivò il giorno dopo, con il primo cliente della mattina (e a lui chi lo aveva detto il quesito? ma si sa il paese è piccolo). Un signore in apparenza simpatico. Brizzolato e con la barba da maestro di yoga. La soluzione, come disse lui, non può essere capita da tutti. Ci vuole di essere un po' del mestiere (quale?). Comunque ve la riporto, per come l'ho capita io.
Il concetto fondamentale sui cui si basa è il teorema (scusate il termine non proprio da parrucchiere) degli zeri. Questo stabilisce che una funzione continua (oggi bisogna che usi le parole di questo signore se no poi quelli del mestiere si arrabbiano), se prima è positiva e poi è negativa- o viceversa- prima o poi vale anche a zero. Un po' come dire che se con l'ascensore parti dal piano -2 per arrivare al piano 4, devi per forza passare anche dal piano terra...
Partiamo da un preliminare (anche in matematica in genere si comincia così...). Prendiamo una superficie chiusa qualsiasi come quella in figura. Scegliamo una qualsiasi direzione del piano. Per semplicità (ma non cambierebbe nulla facendo diversamente) quella orizzontale. Facciamo vedere che esiste una retta r con quella direzione che taglia in due parti equivalenti la superficie. Chiamiamo A la parte della superficie sopra la retta e B quella sotto. E' facile vedere che queste due parti variano con continuità al variare della posizione della retta r (che è per esempio univocamente determinata dalla direzione e dalla distanza x dal punto più basso della superficie) nel piano. Definiamo f(x)=A(x)-B(x), ovvero la differenza delle superfici superiore e inferiore quando la retta r si trova a distanza x dalla parte più bassa. E' evidente che f(0)=A(0)> 0 in quanto è uguale all'intera superficie (B(0)=0). Se calcoliamo la funzione nel punto "più in alto" della superficie, chiamiamolo h, sia ha f(h)=A(h)-B(h)=-B(h). Che è l'opposto dell'intera superficie. Quindi poiché in 0 e h la funzione f assume valore discordi, deve esistere un punto c con 0<c<h tale che f(c)=0, ovvero A(c)-B(c)=0. Ovvero A(c)=B(c). Non è difficile notare che la retta r in questione è unica! Questo conclude il preliminare. Attenzione a non stancarvi troppo con i preliminari perché se no vi perdete la parte interessante...
Abbiamo quindi fatto vedere che scelta una direzione posso trovare una (e una sola) retta con quella direzione che divide la superficie in due parti equivalenti. Posso quindi, applicando due volte questo ragionamento trovare due rette ortogonali tra loro (facciamo finta che siano proprio gli assi cartesiani) con tale proprietà. A questo punto la superficie risulta divisa in 4 regioni. Chiamiamole seguendo i quadranti del piano cartesiano A,B, C, D come nella figura che segue.
Poiché le rette x e y dividono la superficie in due parti uguali, è chiaro che
A+B= C+D e B+C=A+D. Da questi, con conti che ho capito persino io, si ricava che A=C e B=D.
A questo punto escogitiamo questo trucchetto. Chiamiamo x l'angolo che l'asse delle ascisse forma con l'orizzontale. Per ogni x è chiaro che posso trovare un sistema di assi cartesiani con l'asse delle ascisse inclinato di x rispetto all'orizzontale. Chiamo f(x)=A(x)-B(x). Consideriamo la situazione della figura sopra con x=0. Se f(0)=0, come nel preliminare, sarei arrivato alla conclusione cercata. Altrimenti, supponiamo che f(0)=A(0)-B(0)>0. Facciamo ruotare gli assi di 90 gradi in senso antiorario. Per l'unicità delle singole rette, gli assi, seppur con nomi invertiti, tornano a coincidere con quelli precedenti. Ma attenzione, perché avevamo detto il nome dei riquadri seguiva quello consueto di un sistema di riferimento cartesiano (intendo dire che la regione A è sempre quella che sta nel primo quadrante, la B nel secondo, e così via...). La situazione è quella nella figura che segue:
Calcoliamo f(90)=A(90)-B(90). Ma, confrontando le due figure, si osserva che A(90)=B(0) e B(90)=C(0). Quindi f(90)=B(0)-C(0). Ma avevamo detto che C=A, quindi f(90)=B(0)-A(0) che è esattamente l'opposto di f(0). Dal teorema degli zeri segue che esiste una angolo c tra 0 e 90 gradi, per il quale f(c)=0, ovvero che B(c)-A(c)=0, ovvero A(c)=B(c). Mettendo insieme questa uguaglianza a quelle sopra si ha che per questo angolo, il sistema cartesiano corrispondente, taglia la figura in quattro parti equivalenti.
La spiegazione fu convincente... però avevo una domanda da fare ancora a questo simpatico signore. "Ho capito che, in linea teorica, è possibile farlo, ma come lo effettuo veramente un simile taglio...?"
"Dé...mica sarai pisano? te pensa a fare il barbiere... che a quest'altre cose meglio che ci si pensa noialtri!"
"A che serve sapere di poter fare una cosa, se uno comunque non sa come praticamente come farla? Pensa a questo fatto... tu potenzialmente potresti piparti Belen. E' facile dimostrare che ci sarebbero tutti i presupposti e gli attrezzi per farlo... ma poi in pratica..."
"... in pratica si rimane uomini di polso fino in fondo!"
Che personaggio!
