VI (S): Monete truccate

VI (S): Monete truccate

Quante volte abbiamo avuto l'impressione che un sorteggio fosse stato fatto con troppa leggerezza? Per non usare apertamente il termine "pilotato"? Lo scacchista ingenuo sembra vittima della malafede del coinquilino, che, per sfruttare la sua superiorità tecnica con i bianchi, al momento del sorteggio del colore, lo ha convinto ad utilizzare per tale operazione la sua moneta, che, statistiche alla mano, non sembra troppo regolare.

Il quesito di oggi era proprio questo: è possibile, utilizzando una moneta truccata, effettuare un sorteggio equo tra due contendenti? Per truccata si intende che le due facce (testa e croce) non hanno (necessariamente) la stessa probabilità di presentarsi e per equo che ognuno dei due contendenti ha le stesse probabilità dell'altro di uscire vittorioso dal sorteggio.

La domanda quantomeno insolita, trova risposta in semplici nozioni di probabilità elementare.
Supponiamo che la moneta sia truccata in questo modo: la probabilità dell'evento "esce testa" è p e, di conseguenza, quella dell'evento "esce croce" è 1-p.

E' chiaro che effettuando un solo lancio della moneta, non possiamo venire a capo della situazione. 

Lanciando una sola volta la moneta i due eventi sono equiprobabili soltanto quando p=0,5. Ma questo non sembrerebbe il caso.

I due giocatori potrebbero trovare allora il seguente accordo. La moneta viene lanciata due volte: se si presenta in sequenza Testa-Croce vince il primo, se invece si presenta Croce-Testa vince il secondo. Qualora esca due volte consecutive la stessa faccia non vince nessuno e si rieffettuano i due lanci.
Vediamo perché questa soluzione (soltanto una delle possibili ovviamente) pone fine al problema.
L'esito di un singolo lancio è indipendente dall'altro. Quindi la probabilità che esca
i) Testa-Croce è p x (1-p)
ii) Croce-Testa (1-p) x p

Grazie alla commutatività del prodotto, è immediato constatare che i due eventi sono equiprobabili. Così facendo, l'ingenuo scacchista, forse, eviterà qualche volta di lavare i piatti. Dico forse, perché se la sua intuizione non lo ha portato prima a smascherare l'inganno, dubito un pochino anche delle sue doti di deduzione scacchistica...

VI: Monete truccate

VI Monete truccate

Mentre questa mattina riaprivo la bottega, ripensavo alle parole di quel signore riguardo a Lance Armstrong e al fenomeno doping nel ciclismo. Pensa un po', aveva ragione. Sapeva tutto ancora prima che lo pseudo-campione americano confessasse. 

Meno male che ci sono tanti giochi ancora puliti, che non conoscono il fenomeno delle droghe. Mentre parlavo tra me e me (almeno così credevo) di queste cose, si intromette nel mio soliloquio un giovanotto dicendo che il doping è un fenomeno che coinvolge o coinvolgerà prima o poi tutte le competizioni dove il ruolo del fisico è determinante: tennis, calcio, atletica, nuoto, etc... 

Chiesi allora quali sono gli sport che, a suo parere, rimarranno "puliti".

"Beh, i giochi dove si usa più la mente che il corpo: il bridge, gli scacchi, il go, etc..."

"Ma anche in quelle discipline incombe la minaccia di sostanze che mirano ad aumentare la concentrazione di un giocatore, tipo la cocaina... no?"

"Forse è così, ma non sono convinto né che il fenomeno sia così diffuso, né che possa incidere con lo stesso peso che negli altri sport. Guarda il bridge, da 50 anni vincono sempre le stesse nazionali. Dipendesse dal doping, ci sarebbe stata quanto meno più alternanza... lo userebbero anche qui un po' tutti."

Magari è come diceva lui. Non ne so molto di questo mondo. 

"Quindi- chiesi- tu sei un giocatore di bridge?" 

"Io sono uno scacchista. Negli scacchi non esiste il doping. Esiste il tuo avversario. Esiste il tempo che talvolta è tuo alleato, talvolta il tuo secondo avversario. Io gioco tutte le sere una partita con il mio coinquilino, per decidere chi laverà i piatti della cena. Si sorteggia con una moneta il colore e si gioca."

"Perché sorteggiare il colore, cosa cambia giocare con le pedine nere piuttosto che con quelle bianche? Mica mi vorrai dire che non si è diffuso il fenomeno del doping negli scacchi, ma è dilagato subito quello del razzismo?"

Mi ha guardato con la stessa faccia con la quale un uomo guarda la moglie quando gli chiede di spiegarle il "fuorigioco" e ha aggiunto stizzito: "Non è una questione di colore, è che, storicamente e da regolamento, la prima mossa spetta al bianco. Quindi c'è un leggero vantaggio. Tra l'altro il mio coinquilino è praticamente imbattibile quando gioca per primo."

"E quindi, tirando le somme, quante volte hai vinto negli ultimi dieci giorni?"

"A dire il vero solo una volta, l'unica volta che il sorteggio mi è stato favorevole."

"E nell'ultimo mese, quali sono state le tue performances?" 

"Beh, ho vinto tutte le volte che ho iniziato."

"Non male, quindi quante per essere precisi?"

"Oltre quella che ti ho detto prima, un altro paio di volte."

"Ah mi vuoi dire che su trenta sorteggi, ne hai vinti solo tre?"

"Me ne vuoi fare una colpa?"

"No, no... è che mi sembra strano. Poi certo, può succedere. Però è strano."

"In effetti. Soprattutto perché anche nel mese prima, vinsi il sorteggio soltanto quattro volte..."

"...su trenta! Sette su sessanta."

"Sono proprio sfortunato."

"Puoi dirlo forte. Ma con che moneta fai il sorteggio? E' proprio vero che l'euro ci ha portato sfida!"

"E' la moneta fortunata del mio coinquilino a dire il vero, quella che usiamo sempre."

Questo spiega molte cose. Ma forse meglio non dirglielo. Io mi sarei insospettito subito. Sono di quelli che hanno piena fiducia sia nelle probabilità che nelle statistiche. Nel senso che se lancio due volte la moneta e nel primo lancio esce testa, se nel secondo esce ancora testa, per me, è già sospetta!

Ancora peggio per le statistiche. Ricordate quel recente sondaggio inglese che stabiliva che una persona su due tradisce il partner? E' allucinante. Nel senso: se non sei tu, è tua moglie!

Ma queste sono considerazioni a margine. Chiedo allora perché non proponesse di fare il sorteggio con un'altra moneta. "Non si può. Negli accordi iniziali c'è quello di fare il sorteggio sempre con quella moneta." 

Possibile che anche quando sceglie lui per primo la faccia della moneta non riesca a vincere? Mah... chi ci capisce qualcosa. Mi chiedo però se ci sia un modo di fare un sorteggio equo con una moneta truccata.

Non che mi dispiaccia sapere questo giovanotto con il grembiulino che lava i piatti (magari fa meno danni lì che altrove),  però un domani potrebbe capitare a me una situazione simile.

Ricapitolando, il quesito di oggi è semplicissimo. Supponiamo che dobbiamo fare un sorteggio con una moneta che sospettiamo truccata. Ma non ne abbiamo altre e dobbiamo per forza usare quella. Per truccata intendo nella fattispecie che (forse) non c'è la stessa probabilità tra gli eventi esce testa e esca croce. Come ci possiamo mettere d'accordo con altra persona al fine di avere un sorteggio equo, ovvero che garantisca il 50% di probabilità di successo a testa?

V (S): Un nuovo criterio di divisibilità per due

Un nuovo criterio di divisibilità per due

Il problema della divisione di una pizza in due si può rivelare più antipatico del previsto, soprattutto se i contendenti sono due bambini che urlano e frignano per qualsiasi inezia che ritengano enorme fonte di iniquità. 

La questione era la seguente: due persone, ugualmente affamate, vogliono dividersi "equamente" una pizza in due parti. Con il termine "equamente" intendo che una volta deciso un criterio per dividere in due la pizza, nessuno dei due contendenti ha motivo di lamentarsi del pezzo che si mangerà.

Per fortuna quel giorno, una signora dai lineamenti direi minuti, scossa e infastidita dalle grida dei frugoletti, trovò il modo per dipanare la questione. 

"Tanto tanto tanto tempo fa"- secondo me è un aneddoto della sua fanciullezza- "viveva un re rinomato per la sua sapienza e la sua saggezza. Il suo nome era Salomone. A quel tempo non esisteva il giudice di pace, il TAR, la cassazione, la Boccassini etc... e il re si doveva occupare anche delle questioni più complicate da sbrogliare. E quello che un giorno gli fu sottoposto sembrava un caso veramente irrisolvibile.

Due donne si presentarono da Salomone: ciascuna aveva partorito un figlio a pochi giorni di distanza l'uno dall'altro ed entrambe dormivano nella stessa casa. Una notte accadde che uno dei due bambini morì e sua madre, secondo l'accusa, aveva scambiato il figlio morto con quello vivo dell'altra donna mentre questa dormiva. Salomone, dopo aver ascoltato le due donne sostenere più volte le loro tesi, fece portare una spada e ordinò che il bambino vivente fosse tagliato a metà per darne una parte a ciascuna di esse.  Allora la vera madre lo supplicò di consegnare il bimbo all'altra donna, pur di salvarlo. Salomone capì così che quella era la vera madre e le restituì il bambino. Fu così reso noto a tutti che Salomone era veramente un re buono, santo, di fede."

Una bella storia senza dubbio! "E' commovente tutto ciò- risposi alla signora che sembrava uscita da un simposio di catechiste- ma come ci aiuta questo a risolvere il problema della divisione della pizza? E di conseguenza a porre fine allo strazio delle grida di questi balordi? Bambini volevo dire."
"Ci aiuta, in quanto, in memoria della sua saggezza e, probabilmente, con qualche attinenza al problema della spartizione in due di un bambino, c'è un teorema di matematica che porta il suo nome. Ed è proprio legato alla spartizione di una pizza!"
Certo che i matematici non hanno più niente di serio su cui pensare. "In che consiste questo teorema come lo chiama lei?"
"Beh niente di più semplice. In fondo si vuole dividere una pizza in due, ma non in parti perfettamente uguali- il che sarebbe impossibile anche con la più moderna tecnologia a disposizione, ma in parti di cui poi non si dovranno lamentare i due pargoli."
Quindi? Non è la stessa cosa?
"Quindi basterà far dividere la pizza in due parti (che lui reputa uguali) a uno dei due bambini, dopodiché l'altro sceglierà per primo. Chi ha diviso la pizza non potrà lamentarsi in quanto secondo lui (artefice della divisione) le parti sono uguali e chi ha scelto.... beh ci mancherebbe che si lamenta della parte che sceglie!"
Semplice e ineccepibile mi sembra.
Rallegrato della quiete rinvenuta nella sala, ringraziai la signora, una tale Stefania, secondo me contemporanea di Salomone (se no qualcun altro avrebbe saputo di questa vicenda delle madri no?).
Nel salutarla commentai con una nuova luce negli occhi il racconto della signora: "Però, in effetti Salomone aveva avuto un'idea meravigliosa. Avrebbe risolto il problema in dieci secondi."
"Sei rimasto anche tu colpito dalla saggezza del terzo re di Israele?"
"Certo, in effetti, tagliare in due di netto con una spada affilata entrambi i marmocchi, mi avrebbe risparmiato un'ora di fracassamento di..."
Non mi lasciò terminare la frase che se andò scuotendo la testa.
Quasi a insinuare che io non avessi compreso il vero significato del suo aneddoto.
Bah chi le capisce le donne.

V: Un nuovo criterio di divisibilità per due

V: Un nuovo criterio di divisibilità per due

Finalmente dopo le vacanze, l'attività ha ripreso il suo normale corso. C'è un po' di fibrillazione per i saldi appena cominciati accompagnata da una rassegnata malinconia per la ripresa del lavoro. Forse nel complesso è uno stato emotivo a somma zero. Per le donne...

Nella bottega oggi un signore aveva avuto la brillante idea di portarsi dietro i due figli (Dio li fulmini- ovviamente a piccole scosse!) e non vi dico che confusione nella mia piccola saletta. Era un via vai di macchinine, di videogiochi al telefonino e soprattutto di urla isteriche incontrollabili. E tutto questo prima che passasse un minuto la madre a portar loro un pezzo di pizza bianca. Non vi sto a narrare la confusione per la divisione di questo pezzo enorme di pizza tra i due pargoli.

Dopo due minuti di grida e mezzi pianti, anche visibilmente alterato, ho domandato quale fosse il problema. Non potevano avere ognuno metà pizza e festa finita?

"Il problema è che, per quanto uno stia attento a dividerla in parti uguali, uno dei due (o paradossalmente tutti e due- ma questo non sarebbe un problema di difficile soluzione) si potrebbe lamentare della parte toccata all'altro... sa come sono i bambini..."

So come sono i bambini. Per questo non li ho messi per ora in cantiere. Ma questo non potevo dirglielo.

"Non può dividerle equamente lei e poi darle ai pargoli?"

"Il problema è che quello che io considero equo potrebbe non esserlo per loro. Magari poi quando glieli vado a dare, uno dei due dice che l'altro è più croccante, più morbido, più grande, più saporito... sa come sono fatti i bambini".

So come sono fatti i bambini! Per questo non vendo cibo dentro al negozio. Altrimenti offrivo la colazione come da Tiffany!

"Beh una volta che li ha divisi, non può farglieli scegliere a loro? Almeno non si lamentano."

"Non si lamentano fin quando non scelgono entrambi lo stesso pezzo! Se uno dei due sceglie per primo poi l'altro- pensando a chissà quale ragionamento ci sia dietro la scelta- si accoda e reclama lo stesso pezzo. Sa come ragionano i bambini..."

So come ragionano i bambini. Per questo uno dovrebbe organizzare i simposi con i pargoli all'interno della propria casa e non nella mia bottega.

"E dividerla in tanti pezzi più piccoli, a parte le molliche che mi lascerebbero a tonnellate sui pavimenti, non risolverebbe la situazione."

Qualcuno ha un'idea su come dipanare la questione? 

Ricapitolo brevemente il problema. C'è un pezzo di pizza bianca e due bambini tanto egoisti quanto ingordi, decidono di dividerla in due parti eque! Ma eque nel senso loro. Cioè che dopo la divisione nessuno possa lamentarsi del pezzo a lui destinato. Come si possono accordare per riuscire in questa antipatica divisione per due?

Il dilemma del prigioniero sportivo

Il dilemma del prigioniero sportivo

Ho riaperto la bottega proprio oggi, per il giorno dell'Epifania. In effetti non è stata una grande idea. Nel negozio non è venuto quasi nessuno. Forse avrei dovuto quanto meno ricordarmi di scrivere fuori che avrei riaperto oggi. Pensavo di fare al mondo una sorpresa gradita. Vabbeh. Ho passato la giornata ascoltando un po' di sana radio, che per fortuna ancora non è degenerata come la tv. Stavano parlando degli eventi sportivi del 2012: dagli europei, al campionato impeccabile della Juventus per poi passare al ciclismo e alla clamorosa revoca delle 7 vittorie al tour de France di Lance Armstrong. Proprio su questa notizia, un cliente che non avevo mai visto, commenta laconico: "Beh, con lo stesso criterio dovrebbero togliere gli ultimi titoli a tutti i vincitori, più o meno dal '90 ad oggi!". Non posso credere che tutti i ciclisti che hanno vinto gare importanti si siano dopati. Lo pensai prima tra me e me poi espressi al nuovo arrivato il mio pensiero. Lui, con un'aria tanto triste quanto consapevole di quello che stava per dire, continuò così: "La matematica ha fatto troppi passi da gigante in questi ultimi anni per tenersi lontano dal mondo dello sport. Il problema è che i due mondi si sono avvicinati dalla parte sbagliata: la parte sana e nuova della matematica- la Teoria de Giochi intendo!- con la parte malata dello sport- il Doping... come si stava dicendo."

La risposta mi ha spiazzato ancora di più della prima affermazione. Gli chiesi allora di farmi comprendere meglio quello che stesse dicendo. Ma con parole elementari anche per un povero parrucchiere!

"E' semplice caro mio e se ha cinque minuti posso provare a spiegarglielo". Persa per persa la giornata, lo assecondai. D'altronde non potevo mica mandare via l'unico cliente di oggi. 

"Per un ciclista non esiste vicissitudine più demoralizzante che essere superato da un avversario su una salita. Allo stremo delle forze sa che deve rimanere in contatto coi primi, altrimenti la sua motivazione svanirà insieme alla sua speranza di vittoria. Ma un ciclista, che si allena con costanza, riuscirà a migliorarsi fino a un certo limite. Un limite "genetico" e non può farci nulla. O meglio, nulla di eticamente encomiabile. Se tale ciclista pratica questo sport per passione, allora sarà soddisfatto una volta raggiunto il suo limite. Ma se questo atleta fosse un professionista? Il problema diventa più spinoso: supponiamo- per assurdo!- che la squadra di questo ciclista avesse nel "programma medico" alcune sostanze per migliorare le prestazioni e che tale ciclista sarebbe stato tagliato fuori qualora non fosse risultato competitivo. Supponiamo infine che tale ciclista fosse stato certo che tutti i suoi avversari facessero uso di doping e che i controlli fossero quasi sempre inefficaci".

Il dilemma etico cominciava ad essere chiaro, la precedente insinuazione con la matematica rimaneva ancora molto molto fumosa. "Cosa c'entra in tutto questo la matematica? La teoria dei giochi a cui accennavi prima?"

"Te lo spiego subito. La teoria dei giochi si occupa delle strategie che permettono, all'interno di un gioco con regole ben precise, a un competitore di massimizzare la propria vincita o minimizzare la propria perdita. L'esempio più famoso è il dilemma del prigioniero. Tu e il tuo complice (supponiamo il barbiere che sta dall'altra parte della strada) siete stati arrestati per un certo reato e venite tenuti in isolamento in celle separate. L'accordo iniziale tra voi era di non parlare. Gli investigatori presentano a entrambi le seguenti alternative:

1. Se tu confessi e l'altro prigioniero non confessa, tu sei libero e l'altro prende 3 anni di galera.
2. Se l'altro prigioniero confessa e tu non parli tu prendi 3 anni di prigione e lui è libero.
3. Se entrambi confessate, vi prendete due anni ciascuno.
4. Se entrambi non parlate, vi prendete un anno a testa.

La scelta più conveniente è ovviamente tradire l'accordo iniziale. Il perché è presto detto. Supponiamo che l'altro scelga di non parlare: allora confessando tu sei libero; se rimani in silenzio ti fai un anno di prigione. Supponendo invece che l'altro "canti": se tu confessi ti prendi due anni di prigione che sono comunque meglio dei tre che ti spetterebbero scegliendo di rispettare l'accordo."

"E' un po' da infami- constato- ma non sembra fare una piega questo ragionamento. Ma cosa c'entra con il ciclismo?"

"Nel ciclismo, come in altri sport, gli atleti competono seguendo un complesso di regole. Una di queste è appunto il divieto di assumere sostanze che migliorino le prestazioni. Tuttavia la grande efficacia di queste sostanze unita alle difficoltà da parte dell'antidoping di individuarle hanno incentivato questa pericolosa pratica. Una volta che alcuni tra i migliori ciclisti si dopano, ottenendo un vantaggio, anche i loro avversari sono costretti a fare lo stesso, causando un effetto domino che si propaga a tutti i ciclisti professionisti (e non). L'abuso collettivo di sostanze illecite ha quindi innescato in maniera naturale una strategia di omertà che ha impedito di tornare al rispetto delle regole.

Molti atleti, anche all'epoca d'oro di Coppi e Bartali, prendevano stimolanti e antidolorifici, ma i regolamenti antidoping sono stati inesistenti fino a quando Tom Simpson nel 1967 morì per un'overdose di anfetamine durante la scalata del Mont Ventoux. Anche dopo questo tragico evento, tutto sommato, i controlli sono stati sporadici e pochi consideravano il fenomeno doping come qualcosa di antisportivo. Poi negli anni '90- come ti dicevo all'inizio- qualcosa è cambiato. Quel qualcosa si chiama "eritropoietina ricombinante ingegnerizzata geneticamente". In una sola parola r-EPO. Questa sostanza che stimola la produzione di globuli rossi è stata accolta come una benedizione dai malati cronici di anemia... e dagli atleti professionisti. Assumere tale sostanza ha la stessa efficacia di una trasfusione con la differenza che invece di dover trasportare grosse sacche di sangue e lunghi aghi, tale sostanza può essere conservata in piccole ampolle dentro un semplice thermos. I vantaggi di chi assume questa sostanza sono evidenti: le prestazioni di un atleta aumentano dal 5% al 20%. E' chiaro che se un ciclista forte comincia a prendere tali sostanze, nessun avversario può permettersi il lusso di lasciargli tale margine di vantaggio. E' per questa ragione che, come nel dilemma del prigioniero, la strategia che permette di ottenere maggiori benefici è quella del tradimento, quella del doping."
Cominciavo a vedere il filo conduttore di questo discorso in un primo tempo strampalato.
"Nella teoria dei giochi, una situazione in cui nessun giocatore ha qualcosa da guadagnare cambiando unilateralmente la propria strategia è definita Equilibrio di Nash. Per uscire dalla voragine del doping bisognerebbe ristrutturare il "gioco" del ciclismo in modo tale che la competizione pulita sia un equilibrio di Nash. Gli organi di controllo dovrebbero cambiare i valori delle ricompense e delle punizioni (in termini tecnici i payoff). Quando gli avversari rispettano le regole, il payoff per un comportamento corretto deve essere maggiore rispetto a quello che si ottiene ricorrendo al doping. E anche quando gli altri giocatori fanno ricorso a strategie non lecite, il payoff che si ottiene rispettando le regole deve essere maggiore di quello che si ottiene seguendo la massa degli avversari. I ciclisti non devono vedere come un svantaggio seguire le regole.
Nel caso del dilemma del prigioniero, abbassare il payoff della confessione e aumentare il patoff del silenzio nel caso l'altro prigioniero confessi aumenta la cooperazione. Ma la maniera migliore per aumentare la cooperazione è permettergli di comunicare prima di iniziare il gioco. Nel ciclismo questo significherebbe rompere il muro di gomma dell'omertà."
Però... bell'applicazione della teoria dei giochi al ciclismo. Affascinato dai modi e dai discorsi di questo signore mi sono permesso di chiedergli il nome.
"Sono Michele Shermer e più di 20 anni fai mi posi la questione se diventare un ciclista professionista o continuare la carriera all'interno dell'università. Analizzata brevemente la situazione il payoff di quest'ultima scelta mi è sembrato decisamente maggiore: 30 anni dopo sono un professionista della matematica e godo di ottima salute!"
"Bene, non mi sembra poco. Allora, si vuole accomodare? Che taglio facciamo?"
"Taglio? Ah no... ero venuto a chiederle se mi cambiava 5 euro. Mi servono le monete per la lavanderia automatica qui dietro l'angolo"
Beh sono stato aperto tutto il giorno. In un giorno festivo per di più. Qual è stato il mio payoff? Niente o quasi. Rifletterò su quel quasi.