La formula magica di Eulero

La formula magica di Eulero

In questo bellissimo sabato finalmente caldo ho deciso di scrivere qualcosa su questo blog, nella mia bottega, come non facevo da tanto tempo. Lo spunto viene da una puntata dei Simpson e da una conversazione con un amico. L'oggetto in questione è quella che viene unanimamente riconosciuta come la formula più bella della matematica. Mi riferisco all'equazione di Eulero. 

Per i profani questa formula dice poco... per chi ha invece un rapporto più ravvicinato con la matematica il solo guardarla provoca uno strano brivido che solo le più belle opere d'arti sanno trasmettere. Qualche post fa, ho cercato di dare una dimostrazione non troppo complicata della formula di Leibniz utilizzando gli sviluppi in serie e il teorema fondamentale del calcolo integrale. Cercherò in poche righe di riportare una semplice dimostrazione anche di questa formula, sperando di fare cosa gradita a tutti coloro che restano affascinati dalla matematica. Per seguire i dettagli di questa dimostrazione basta poco più che aver seguito un corso di matematica generale al primo anno di università... o avere fatto un buon liceo!

E con questa semplice quanto elegante dimostrazione, auguro a tutti un buon fine settimana.

XIV (S): Non ho le età...

XIV (S): Non ho le età...

Il dilemma che si era presentato in bottega l'ultima volta, in breve, era questo: due signori, Alberto e Francesco, per passare il tempo, decidono di giocare in questo modo. Alberto ha tre figli. Francesco deve indovinare le età che hanno in base ad alcuni indizi che vengono forniti al primo. Gli indizi sono questi: il prodotto delle età è 36, la somma delle loro età è pari al numero civico della mia bottega (che chi deve indovinare vede... e proprio per questo dice che ancora non è in grado di capire effettivamente quali siano le età dei ragazzi). A questo punto viene aggiunto un ultimo indizio: il più grande ha gli occhi azzurri! A questo punto Francesco ha capito le età dei figli. Come ha fatto?

Un signore in bottega, un vecchio rabbino trasferitosi in Italia tanto tempo fa, Omar, ha trovato la strada giusta del ragionamento di Francesco.

Per prima cosa ha pensato a quali fossero le terne di numeri che avevano per prodotto 36. Arrivando alla seguente situazione:

1 1 36 

 2 3 6 

 2 2 9 

 1 4 9 

 3 3 4 

 1 2 18 

1 3 12 

 1 6 6

Poi visto che il secondo indizio riguardava la somma ha deciso di vedere le somme delle singole terne:

1 1 36 = 38

 2 3 6 = 11

 2 2 9 = 13

 1 4 9 = 14

 3 3 4 = 10

 1 2 18 = 21

1 3 12 = 16

 1 6 6 = 13

A questo punto Francesco dice che non è sufficiente sapere che la somma è pari al numero della bottega per capire le età con esattezza. Questo significa che il numero visto da Francesco è il 13, l'unico che compare due volte e che quindi lascia un'ultima ambiguità nell'effettiva risoluzione. Ambiguità che l'ultimo indizio scioglie definitivamente. Infatti se fosse 1 6 6 non ci sarebbe uno più grande. Rimane soltanto la soluzione corretta: 2 2 9.

Buon pomeriggio a tutti.

XIV: Non ho le età...

XIV: Non ho le età...

La gente in questi giorni non parla altro che del festival di San Remo, pur ammettendo beatamente di non guardarlo affatto. Perché la musica è altra cosa. Perché San Remo è una vetrina per le case discografiche più potenti. Perché San Remo è noioso. Perché... Perché... Perché... in ogni caso tutti a guardare o a parlare di San Remo.

Tra una discussione e un'altra qui nella bottega, tra la gente che doveva ammazzare il tempo prima di farsi i capelli, ce ne è stata una tra due signori che merita di essere riportata. Non ho ben capito se questi signori non si vedevano da molto tempo oppure proprio non si conoscevano affatto. Erano due signori distinti, di mezza età e anche qualcosa meglio. Alberto e Francesco mi sembra fossero i loro nomi. Alberto ha tre figli e invita Francesco a scoprirne le età.

Francesco chiede giustamente un punto di partenza. D'altronde indovinare le età di tre persone non è mica cosa da poco.

Alberto risponde che il prodotto delle loro età è 36.

Francesco ci pensa un attimo, ma volendo escludere il caso biologicamente meno compatibile (1,1,36) rimangono ancora troppe possibilità per poter sapere le età dei ragazzi.

Alberto allora decide di dare un secondo indizio e dice a Francesco che la somma delle loro età è pari al numero civico della mia bottega...

Francesco si alza un attimo, esce dal salone, guarda il numero e torna ancora un po' pensieroso e dice al compagno: "Devo dire che è davvero un bell'aiuto... , ma ancora non mi basta per capire con certezza quanti anni abbiano i tuoi figli!"

Alberto, spinto a compassione, decide di dare un ultimo indizio. Quello più grande ha gli occhi azzurri!

Francesco sembra aver capito e sussurra qualcosa ad Alberto che sorridendo annuisce. 

Ricapitolando la questione: Due amici, Francesco e Alberto, si incontrano e Alberto sfida Francesco a indovinare l'età dei suoi tre figli. Si sa che il prodotto delle età è 36. Francesco dice che è un po' poco per capire... Poi Alberto dice che la somma delle loro età è quella del numero civico che Francesco ha davanti agli occhi. Francesco lo guarda, ci pensa e dice che ancora non gli basta. Quindi Alberto dice che il più grande ha gli occhi azzurri. Francesco sembra aver capito... voi?

Un Leibniz semplicemente meraviglioso

Un Leibniz semplicemente meraviglioso

Tra concorsi per scuola e università che lasciano molto a desiderare, voci da quattro soldi e basse insinuazioni sui non presenti, baroni universitari sul punto di andare in pensione che ancora vogliono comunque lasciare un segno indelebile nell'ateneo, un'altra giornata qui in bottega stava passando via velocemente. Senza lasciare alcuna traccia. Visto che tutti i gossip fioriti in questo giorno o erano cose risapute o cose inventate. In entrambi i casi cose che non avrebbe senso riportare. 

Ne approfitto allora per raccontarvi di una formula che ha lasciato la sua traccia profonda nella storia della matematica per la sua bellezza e la sua semplicità (in matematica spesso queste due cose vanno a braccetto). Questo incredibile risultato si deve al matematico, filosofo, logico, diplomatico, glottoteta (non so che vuol dire ma questa parola di wikipedia mi piaceva troppo per non metterla!) etc... Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Dedico questa dimostrazione meravigliosa e semplice a tutti quelli che ancora si divertono a imparare ed insegnare la matematica, senza deliri di onnipotenza da baronato da quattro soldi, invidie o stupide mistificazioni. Qui habes aures audiendi... 

A presto.

XIII (S): Frate indovino dal barbiere

Frate indovino dal barbiere

L'ultimo quesito con cui avevamo chiuso la saracinesca del 2013 era, in sintesi, il seguente.

C'è un monastero con regole rigidissime. I frati che vi vivono non possono comunicare in alcun modo tra loro e non possono specchiarsi. Hanno appreso che nel convento qualcuno di loro (almeno uno!) è stato contagiato da una malattia che deve essere curata al più presto. Il sintomo di questa malattia è un pallino rosso sulla fronte della persona infetta. I frati, durante la cena, hanno modo di vedersi e osservarsi per capire chi tra loro potrebbe essere infetto. Se uno di loro capisce di essere malato la notte stessa lascerà il monastero, nel quale non potrà più rientrare. Dopo la prima e la seconda notte non esce nessuno. Qualcuno lascia l'edificio invece durante la terza notte. Ci si domanda di quante unità è diminuita la comunità religiosa dopo tale notte.

La soluzione a questo quesito è stata portata, insieme agli auguri per un felice 2014, da un frate "Noviello" che, su consiglio del collega, è venuto a lustrarsi la chierica qui in bottega.

"Per capire meglio- cominciò a spiegare il frate- quello che può essere successo, supponete per un attimo che nel convento ci sia solo un infetto... per esempio voi! Cosa sarebbe successo la prima notte?"

Già non mi piace più di tanto quando mi viene dato del "voi"... figuriamoci dell'"infetto"... Comunque, dopo i gesti di scaramanzia di rito, gli rispondo:

"Beh, alla cena non vedrei nessun altro frate con il pallino rosso in testa, quindi, visto che almeno uno di noi è infetti, devo essere per forza io... e quindi la sera stessa esco dal convento."

"Giustissimo" si congratulò con pacata benevolenza il Noviello... "Adesso supponete, che durante la prima cena, vedete un altro frate con un pallino rosso sulla fronte..."

"A questo punto- riprendo- sul momento sono più rilassato e vado a letto tranquillo... magari è lui il solo frate infetto"

"Bene. Ma la sera dopo, a cena, vedete nuovamente quel frate con il fatidico pallino rosso sulla fronte. Non ha lasciato il monastero. Perché?"

"Perché ha visto un altro con il pallino rosso e ha fatto lo stesso ragionamento mio... è andato tranquillo a letto pensando che l'altro frate che ha visto contagiato, fosse l'unico contagiato."

"Giustissimo, a questo punto è chiaro che lui ha visto voi e voi avete visto lui... la notte stesse, mestamente, lascerete il convento entrambi."

"Vero... ho capito dove va a parare il ragionamento. Dopo la terza notte, con una deduzione del tutto simile, se ne usciranno tre... se fossero usciti dopo la decima notte dieci... e così via."

"Siete un barbiere scaltro vedo..."

"Sopravvivo...- rispondo- ma voi come avete fatto a risolvere così velocemente il quesito?"

"Beh, purtroppo ero uno di quelli che ha dovuto lasciare il convento!"

Con questo quesito, rinnovo a tutti gli auguri per un felice 2014!

A presto.