XIII: Frate indovino dal barbiere

Frate indovino dal barbiere

Siamo nel bel mezzo delle festività natalizie e la gente ci tiene a farsi bella. La bottega è quasi sempre piena e, la presenza di cioccolatini e caramelle, attira ancora di più quelli che entrano nel locale soltanto per spettegolare e fare due chiacchiere di piazza. Nel tardo pomeriggio, entra con passo solenne un frate con tanto di tonaca. Me l'ero sempre chiesto dove andassero preti, monache e frati a farsi i capelli... 

Gli altri clienti lo salutano con reverenza e lo fanno accomodare nella poltrona più bella del negozio. Iniziano con lui una specie di discussione. Ovviamente si parla del tempo, che fa freddo, che l'anno scorso era peggio,  che c'è sempre meno gente in chiesa e in piazza, etc...

La notizia però che ci lascia più sorpresi è quella relativa al convento nella campagna qua vicino. Tutti avevamo sempre sentito parlare di questa struttura, della rigidità delle regole. Nessuno però aveva potuto toccare con mano la questione. La presenza del religioso sembrava una buona occasione per curiosare. Lui iniziando a raccontare, ci rende partecipi di un suo dubbio che lo attanaglia.

"Dovete sapere- dice- che i monaci che vivono in quel monastero seguono un codice rigidissimo. Nessuno di loro può vedere la sua immagine riflessa in uno specchio o in un qualsiasi altro oggetto o materiale con quella proprietà. Inoltre nessuno può comunicare verbalmente, gestualmente o in altra maniera con gli altri. Una volta che uno esce dal convento, non avrà più modo di farci ritorno."

"Bella vita fate..." commenta sornione il vecchietto a cui stavo lavando i capelli.

"L'unico momento di socialità è la cena. I frati si ritrovano tutti insieme e si dedicano alla lettura. Anche dei quotidiani che tutti i giorni arrivano al convento."

"Che botta di vita..."

Quasi non ascoltando, l'uomo con la tonaca continuò: "Una settimana fa, su un giornale attendibile, viene letta una notizia terribile che sconvolge la normale vita di quiete e silenzio del monastero. I frati vengono a sapere- non mi chiedete come- che almeno uno di loro è stato colpito da una malattia terribile che deve essere curata entro pochissimi giorni prima di degenerare in maniera irreversibile. Il sintomo della malattia è un pallino rosso sulla fronte della persona infetta. Ogni monaco, terrorizzato dalla malattia, decide che, nel caso si scoprisse malato, lascerebbe immediatamente, suo malgrado, il monastero."

"E poi che è successo?" Chiede un bambino incuriosito e spaventato dal racconto del frate.

"La sera stessa ogni monaco, durante la cena, guarda tutti gli altri intorno per capire qualcosa riguardo agli infetti. Il mattino dopo però nessuno ha lasciato l'edificio. E nessuno va via nemmeno dopo la seconda notte."

"...e poi?"

"Poi la terza notte qualcuno ha lasciato il convento. Per sempre. Ma quanti?"

"Quelli che si sono scoperti infetti suppongo" diceva compiaciuto il padre del bambino che aveva fatto la domanda.

"Sicuramente. Ma visto che io sono l'addetto a portare i viveri e, come vi ho detto, gli internati non possono comunicare in alcun modo con me... vorrei sapere quante provviste in meno settimanalmente devo portare. C'è un modo di sapere senza violare la privacy e le regole del convento quanti sono i frati che hanno abbandonato la struttura?"

XII (S): Uno, due, tre... cento!

Uno, due, tre... cento!

Il piccolo Flavio si era portato a casa un bel po' di figurine... senza imbrogli si intende. Ma sicuramente qualche trucco sotto ci doveva essere. Non aveva perso mai una partita. Per fare un riepilogo del gioco a cui due bambini si erano messi a giocare:

si gioca in due giocatori, il primo inizia dicendo un numero da 1 a 10. L'altro ne deve dire un altro aggiungendo da 1 a 10 al numero detto dall'avversario. Quindi riprende il primo con lo stesso criterio. Vince il primo che arriva dire

Dopo un po' di partite si deduce facilmente che, a tutti gli effetti, vince chi arriva per primo a dire 89... infatti a quel punto l'avversario può dire un numero da 90 a 99 e nessuno può più impedire all'altro di vincere la partita. 

Ma in fondo, con un ragionamento del tutto simile... vince il primo che arriva a dire 78. In questo modo costringe l'altro a dire un numero da 79 a 88. La qual cosa non impedisce all'altro di dire 89, che per quanto detto sopra, lo porta tranquillamente a vincere.

Possiamo, saltando a ritroso di 11 in 11, arrivare a dire quali sono i numeri che portano per certo (se seguiti pedissequamente) a vincere.

100- 89- 78- 67- 56- 45- 34- 23-12- 1!

Quindi, da questa breve analisi, si vede subito che la strategia vincente è in mano a chi comincia. Può sempre dire, senza essere in qualche modo ostacolato dai numeri che dice l'avversario, tutti i numeri della serie vincente soprascritta. 

Ma il piccolo Flavio è stato ancora più subdolo, perché se al suo turno, avesse iniziato a dire sempre tutti i numeri della sequenza vincente, l'altro bambino si sarebbe potuto insospettire ed arrivare piano piano al "trucco". Per depistare l'avversario i primi numeri erano praticamente casuali. Correva pochi rischi visto che l'altro non era a conoscenza della strada certa che lo avrebbe portato alla vittoria.

I bambini sanno essere sottili se ci si mettono!

XII: Uno due tre... cento

Uno due tre... cento

Ultima settimana prima dell'inizio delle vacanze. Tutti vogliono essere sistemati e azzimati per i giorni precettati per messe, vigilie e cenoni. 

Bottega piena dalle prime ore dell'alba fino alla chiusura. Oggi c'erano tanti bambini, rumorosi, irritanti, fastidiosi. Bambini insomma. Nell'attesa che gli tagliassi i capelli... e resistessi alla tentazione di tagliargli anche la lingua. Senza sovrapprezzo. Mentre attendevano il loro turno, tra le altre cose moleste che facevano, giocavano a un gioco. Il bambino che vinceva la partita poteva scegliere un figurina del perdente. Chiesi le regole... ed erano in effetti molto semplici. Si giocava in due alla volta. Il primo che iniziava il gioco diceva un numero da 1 a 10. L'altro poteva aggiungere al numero detto dall'avversario da un minimo di 1 a un massimo di 10... poi chi aveva iniziato poteva aggiungere da 1 a 10 a quest'ultimo numero... e così via. Vinceva il primo che arrivava a dire 100!

Un esempio di partita tra i due bambini (Mario e Flavio) poteva essere la seguente:

                                                      M: 4           F: 11

                                                      M: 21         F: 30

                                                      M: 40         F: 42

                                                      M: 51         F: 58

                                                      M: 65         F: 75

                                                      M: 83         F: 89

                                                      M: 93:        F:

Il gioco di per sé mi sembrava innocuo... quello che mi ha, a un certo punto insospettito, è che Mario si è messo a piangere perché in 50 partite aveva perso tutte le sue figurine!

Quello che mi chiedo è se esiste una strategia vincente per uno dei due giocatori... per chi comincia o per l'altro?

Possibile che sia una casualità che Flavio abbia vinto 50 partite su 50?

Chi mi aiuta....?

XI (S): Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse 1

Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse

Il quesito dell'ex detenuto mi ha dato molto da riflettere... per chi non se lo ricorda era il seguente:

il comandante di un carcere raduna 10 detenuti nella sala riunioni per comunicargli che la mattina seguente sarebbero stati posti in fila indiana, in modo tale che ognuno possa vedere soltanto i detenuti che sono davanti. Il primo della fila non vede nessuno. Gli verranno messi quindi dei cappelli che possono essere bianchi o neri. Non ci sono limitazioni o vincoli particolari al numero dei cappelli di un colore. Potrebbero essere anche tutti bianchi... o tutti neri. A partire da quello che vede tutti, sono tenuti a dire soltanto o bianco o nero. Se il colore pronunciato coincide con quello che gli è stato messo in testa (ovviamente nessuno può vedere il proprio cappello) allora saranno liberati subito altrimenti gli viene aumentata pesantemente la condanna. Hanno una notte di tempo per accordarsi sulla strategia da usare per poterne uscire subito il maggior numero possibile di loro. 

Una possibile strategia, diversa da quella usata dal signore nel post precedente, potrebbe essere la seguente: chiunque capita ultimo della fila, quello che vede tutti, dirà il colore che vede in maggior numero nei cappelli davanti. A questo punto ognuno di quelli davanti ripete tale colore. In questo modo se ne salvano almeno 5 su 10... ma era lo stesso risultato che si raggiungeva con l'altra strategia proposta. 

Un'idea più brillante arriva da un forestiero, che da un po' di tempo frequenta abitualmente la bottega. Lui propone di fare accordare i prigionieri così. Se l'ultimo della fila vede un numero pari di cappelli bianchi dice "bianco", altrimenti dice "nero".

Con un attimo di riflessione si riesce a capire che la strategia è molto efficace. Se ne salvano almeno 9! D'altro canto, si dovrà sperare che ogni detenuto sia abbastanza sveglio da sentire quello che dicono i detenuti che lo precedono e rispondere di conseguenza. Un minimo errore nella catena potrebbe risultare fatale e incorreggibile! 

Penso che per stasera si possa anche chiudere bottega!

XI: Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse 1

Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse 1

Brutta giornata in bottega. Le ingiuste eliminazioni di Juventus e Napoli dalla Champions hanno reso il clima della serata quasi surreale. Imprecazioni da una parte e dall'altra per arbitri collusi o corrotti e campi che non sarebbero stati buoni nemmeno per sementare le patate! "Tutti in galera!" Gridava il fruttivendolo all'angolo della strada qui di fronte. 

"Non direste così"- se ne uscì un signore sull'uscio della mia bottega mentre entrava- "Non direste così se voi aveste vissuto veramente questa esperienza! Non si augura a nessuno".

Improvvisamente le imprecazioni nella bottega lasciarono spazio a un silenzio indagatore. Chi era costui? Perché era stato dentro? Spaccio, rapina, omicidio, feste galanti?

"Loro dicevano per dire..."- cercai di ammorbidirlo io- "dovresti saperlo che in questo paese puoi mettere un popolo in ginocchio con politiche scellerate e decisioni anticostituzionali ma non puoi negare un rigore sacrosanto a nessuno!"

"E' vero... ma io sono appena uscito da un carcere tenuto più in piedi dal sadismo dei piantoni che dalla giustizia ordinaria. E alcuni miei compagni staranno lì ancora per 10 anni per un assurdo gioco al massacro..."

"Ma se con l'indulto vi hanno fatto uscire tutti?- apostrofò il signore sotto le mie forbici- di che vi lamentate? Cosa vai blaterando?"

"A parte che i detenuti che rientrano nella liberazione dell'indulto sono una piccolissima percentuale... ma il discorso è che nel carcere dove sono stato io ormai non c'erano più regoli, né leggi, né religione..."

"tutto è iniziato quando nella casa di detenzione è entrato il nuovo direttore. Dicevano che era una brava persona. Ma il potere logora... e a lui fece un brutto effetto. Per alcuni versi mi sembrava la stessa vicenda del colonnello Kurtz in Apocalipse now..."

"Si ma arrivando al dunque... " urlò spazientito un signore, un ex poliziotto in pensione che viene in bottega praticamente una volta a settimana.

"Noi eravamo dentro tutti per reati di povertà. In genere piccoli furti. Eravamo 10. E ci chiamò nella sala riunioni per darci quella che lui definì una grande opportunità. Ognuno di noi in media aveva da scontare là dentro un anno e mezzo. Così lui ci disse che l'indomani mattina avremmo fatto un gioco. Ci avrebbero messo in fila uno dietro l'altro in modo tale che l'ultimo poteva guardare i nove davanti, il penultimo gli otto davanti e così via fino a quello davanti al muro che non vedeva nessuno.

Ci avrebbero messo in testa un cappello che poteva essere o bianco o nero. Ma non sapevamo quanti fossero i cappelli bianchi o neri (per quello che riuscivamo a capire avrebbero potuto essere anche tutti dello stesso colore). Nessuno riusciva a vedere il proprio cappello ovviamente. A partire dall'ultimo (quello che vedeva tutti gli altri 9) fino al primo ognuno di noi avrebbe dovuto dire un colore, o bianco o nero. Se il colore che diceva corrispondeva al colore del cappello che gli avevano messo in testa poteva uscire di prigione il giorno stesso, altrimenti doveva restare in prigione per 5 anni. A nessuno purtroppo fu data la possibilità di non giocare o non rispondere. Però avevamo una notte per decidere una strategia per salvarne il più possibile."

"Non potevate mettervi d'accordo per esempio sul tono della voce da usare per dire il colore? Per esempio se quello davanti a me ce l'ha bianco parlo con accento francese, se quello davanti a me ce l'ha nero parlo con finto accento tedesco..."

"Purtroppo non potevamo fare altro che dire un colore. Bianco o nero. Senza inflessioni. Senza cercare di comunicare altro se non il semplice colore. Se avessimo provato a imbrogliare in qualche modo, ci avrebbero fatti rimanere tutti e 10 in prigione per 15 anni. Non ci conveniva..."

"Voi che avete fatto? Vedo che tu sei fuori, quindi forse siete riusciti a trovare una strategia decente..."

"Ci siamo salvati appena in 5... abbiamo trovato una strategia ma non si è rivelata tanto efficace. Quelli nei posti pari (il decimo, l'ottavo, il sesto...) dovevano dire il colore del cappello di quello che vedevano davanti."

"Scusa così non vi siete riusciti a salvare almeno in 9?"

"No... perché quelli nei posti dispari dovevano dire- se si volevano salvare- il colore che gli era stato suggerito da quello precedente. E quindi non potevano dare nessuna informazione a quello dopo..."

"In effetti.. avete trovato una situazione sfortunata tipo questa allora per salvarvi appena in 5: 

B N B N B N.... l'ultimo della fila che aveva il cappello bianco, per gli accordi presi, doveva dire nero, quello dopo quindi ripeteva nero... ma il secondo bianco- il terzo a parlare- doveva dire nero perché era il colore del suo predecessore... che purtroppo non coincideva col suo..."

"Eh si.. è andata così. Mi dispiace per i compagni rimasti in cella. Il comandante ha detto potevamo trovare una strategia- lecita- migliore che portava a salvarne per certo almeno 9! Ma io non ci credo..."

In effetti è un bel quesito. Riassumendo. 10 prigionieri verranno messi l'indomani una dietro l'altro: l'ultimo della fila vede tutti gli altri davanti a sé, il penultimo gli 8 davanti... fino al primo che non vede nessuno. Sulle loro teste verrà messo un cappello che può essere o nero o bianco. A partire da quello che vede tutti, a turno, fino al primo che non vede nessuno, ognuno di loro potrà dire soltanto "Bianco" o "Nero". Se il colore che una persona pronuncia coincide con il colore del cappello che indossa, il prigioniero in questione è libero. Altrimenti dovrà scontare quasi 4 volte la sua pena. I prigionieri hanno una notte di tempo per trovare una strategia che li porti a salvare nel maggior numero. Qualcuno dice che se ne possono salvare almeno 9. Come potrebbero fare? Bene saperlo... visto che un domani, con l'aria che tira, potremmo essere noi dietro le sbarre!

X (S): Pesate col contagocce

Pesate col contagocce

Il problema della domenica appare subito ostico. Addirittura viene il dubbio che possa essere risolto. Ci si chiede se, avendo a disposizione una bilancia a due piatti, 12 monete apparentemente identiche di cui una falsa con un peso diverso dalle altre (o maggiore o minore non sappiamo), è possibile stabilire con 3 sole pesate quale sia la moneta falsa e se sia più pesante o leggera delle altre. 

La soluzione me l'ha detta un vecchio professore di Algebra, un signore molto particolare che nemmeno il più audace Nanni Moretti avrebbe potuto dipingere. Sembrava vivere in un mondo tutto suo, sempre accompagnato da un diligentissimo barboncino bianco. Le soluzioni più eleganti di problemi di algebra, probabilità e combinatoria sembrava le sognasse di notte. Non veniva spesso a tagliarsi i capelli da me, li aveva sempre scombinati come Beethowen nei classici ritratti pervenuti.

La soluzione è la seguente:

• Prima Pesata

Divido le monete in tre gruppi da 4 e ne confronto 2.

• Seconda Pesata

A questo punto abbiamo due possibilità: o la bilancia è in equilibrio oppure un piatto pesa più dell'altro.

2a Supponiamo che le otto monete confrontate pesino uguale. Quindi sono tutte buone e le indicheremo d'ora in poi con B. Mentre nel gruppo rimasto fuori ci deve essere quella falsa. Le quattro monete di questo gruppo le denoteremo con F.

Confrontiamo quindi in questa pesata tre delle false con tre delle buone. Cioè

FFF-BBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2a1  FFF<BBB

2a2  FFF>BBB

2a3  FFF=BBB

Consideriamo che si presenti il caso 2a1: vuol dire che tra le tre monete F, c'è quella falsa ed è più leggera delle altre. A questo punto basta prenderne due di quel gruppo di tre ed il finale è identico a quello del problema delle 9 monete: ne confronto una e una e se il piatto è in equilibrio, la moneta falsa è quella rimasta fuori. Altrimenti la moneta è quella che rimane nel piatto più alto della bilancia.

Se si presenta il caso 2a2, procediamo alla stessa maniera.

Se si presenta il caso 2a3, la moneta falsa è la F rimasta fuori. A questo punto la confronto con una buona B per capire se è più pesante o più leggera. 

Questo conclude il caso 2a.

2b Supponiamo che le quattro monete del piatto di destra siano più pesanti delle quattro monete del piatto di sinistra. 

Quindi la falsa potrebbe essere o tra le prime quattro (che indicheremo PPPP) se è più pesante, o tra le altre quattro (che indicheremo con LLLL) se è più leggera.

Con la seconda pesata confronto allora le monete scelte, tra buone, presunte pesanti e presunte leggere in questo modo:

PLLL-LBBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2b1  PLLL<LBBB

2b2  PLLL>LBBB

2b3  PLLL=LBBB

Se si presenta il caso 2b1 allora vuol dire che la moneta falsa è tra le tre L (più leggere). Allora ne prendo due e, come prima, le confronto. Se pesano uguale quella falsa era quella esclusa, altrimenti è quella più leggera tra le due.

Se si presenta il caso 2b2 allora vuol dire che o la moneta falsa è più leggera ed è la L del piatto di destra o è più pesante ed è la P del piatto di sinistra. Prendo un moneta buona B e la confronto con una delle due. Anche in questo caso dall'esito riesco a risalire alla moneta fasulla.

Se si presenta il caso 2b3 vuol dire che la moneta falsa è più pesante ed è una delle tre rimaste fuori del gruppo delle P. Ne prendo due e le confronto tra loro, arrivando anche in questo caso alla moneta falsa in sole tre pesate.

Tutto sommato non è nemmeno così difficile come sembrava in un primo tempo... mi chiedo se un pescatore con lobby della matematica sarebbe in grado di capirla... lo saprò presto!

Intanto lo saluto qui dalla bottega, che se è ancora aperta, è soprattutto merito suo!

X: Pesate con il contagocce

Pesate con il contagocce

Ogni tanto mi piace venire in bottega anche la domenica mattina. Non per un particolare attaccamento al lavoro, sia chiaro, ma per vivere quell'atmosfera di piazza che solo un paese sa darti la domenica mattina. La gente si incontra per fare una rendicontazione dettagliata di quello che ha vissuto durante la settimana, per svelare all'amico fidato le scommessa vincente su una partita di campionato, per respirare un po' di aria sana che solo la domenica mattina porta con sé.

Stavo rimettendo a posto un po' il locale quando due signori, poco fuori, discutevano animatamente. Sembrava un chiaro caso di truffa. Il signor Romano era andato a comprare della pasta fresca, dei ravioli fatti in casa. Aveva speso 9 euro, pagandoli con 9 monete da un'euro. Il signor Rossi, al bancone, che ne sa una più del diavolo, aveva il sospetto (forse per la poca stima e considerazione che da sempre celava nei confronti del signor Romano) che una di quelle monete fosse falsa. E non aveva mancato di dirglielo. 

"Ma le sembra possibile che vengono a comprare 9 euro di ravioli- di discutibile qualità aggiungerei- con dei soldi falsi?"

"Da lei ci sarebbe da aspettarsi questo e altro..."

"Non è possibile che siano falsi- aggiunse l'edicolante- per lo meno non tutti!"

"Come fai a saperlo?" chiese subito Rossi.

"Perché è venuto a comprare la Repubblica, e nel borsello aveva solo 1euro. Quindi mi ha pagato con una banconota da 10. 8 monete da un euro gliele ho date io..."

"Secondo me voleva rifilarti quella moneta... poi si è accorto che non arrivava a pagarti l'importo esatto con quella, così ora la vuole rifilare a me! Quindi in queste 9 monete c'è la sua moneta falsa..." commentava ad alta voce Rossi per farsi sentire da tutti, mettendo in cattiva luce il povero Romano.

"A guardarle- subentrai nella discussione- sembrano tutte uguali, non c'è che dire."

"Si- ma precisò l'edicolante- quelle false è risapute che vengono fatte con una particolare lega di ferro e sono di qualche grammo appena più pesanti"

"Beh poco male. C'è qui il sig. Rosciolo, orafo da sempre, che ha una bilancia di precisione. Chiediamo se ci fa controllare le monete." Questa la trovata del signore della pasta fresca.

"Ma voi lavorare un po' invece di rompere i coglioni di prima mattina?" salutò l'orefice "Che volete?"

"Vorremmo solo usare un attimo la tua bilancia di precisione per controllare alcune monete."

"Questa è una bilancia a due piatti, non ti dice il peso, ti confronto con esattezza i pesi dei due piatti, dicendoti se hanno lo stesso peso oppure uno, anche se solo di mezzo grammo, è più pesante o più leggero dell'altro. Non fa altro."

"Io penso che vi basti" commentai...

"Si ma visto che mi fate perdere tempo- aggiunse il sig. Rosciolo con l'anima sempre presente del mercante- vi faccio pagare 2€ a pesata. Almeno in ogni caso la prossima volta ci pensate prima di venire a darmi noia."

Il signor Rossi, pur di vedere umiliato e colto in fallo il suo compaesano, decise di accettare la proposta. Non esitò nemmeno un attimo. Divise le 9 monete in 3 gruppi da 3. Fece una prima pesata. Pensò un attimo. Fece una seconda pesata con una moneta per parte. E poi disse di aver trovato la moneta falsa... 

Il sistema usato dal commerciante di pasta fresca in effetti, al solo costo di 4€, sembrava funzionare! (ammesso che ci fosse la moneta falsa, povero sig. Romano!).

Qualcuno del paese aveva però sentito dire- chissà dove- che le nuove monete false, fatte ancora con maggior attenzione, avevano il peso di poco differente da quelle vere. Ma non si sapeva se tale peso fosse maggiore o minore dell'originale. 

In effetti io avevo ancora una bilancia a due piatti nel negozio (se lo sa il sig. Rossi dopo quanto ha dovuto spendere non mi vende più niente!). Il prezzo di un taglio qui da me è di 12 € (sono un barbiere onesto... a differenza del mio dirimpettaio). Se un cliente mi pagasse con 12 monete da un euro di cui una falsa, riuscirei con sole 3 pesate, a individuarla?

Molto probabilmente per un euro non avrei fatto tutto il casino del mio vicino di negozio... ma uno deve pur passare la domenica mattina e questo rompicapo mi sembra divertente.

Riassumiamo veloce la questione: abbiamo di fronte 12 monete perfettamente identiche. Una di esse però è falsa e pesa o poco di più o poco di meno delle altre. Per trovarla abbiamo a disposizione una bilancia a due piatti, che semplicemente confronta con precisione il peso del piatto di destra con il peso del piatto di sinistra. Con solo 3 pesate è possibile individuare la moneta fasulla e dire se è più leggera o più pesante delle altre?

IX (S): Vuole un taglio particolare?

Vuole un taglio particolare?

Il quesito con cui il signor Bernardino ci aveva lasciato l'ultima volta era molto affascinante. Si chiedeva se una torta (il cui spessore veniva considerato uniforme in tutta la sua superficie) di forma irregolare (immaginiamola come una superficie delimitata da una curva semplice chiusa), potesse essere divisa in quattro parti equivalenti con due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro.

La soluzione arrivò il giorno dopo, con il primo cliente della mattina (e a lui chi lo aveva detto il quesito? ma si sa il paese è piccolo). Un signore in apparenza simpatico. Brizzolato e con la barba da maestro di yoga. La soluzione, come disse lui, non può essere capita da tutti. Ci vuole di essere un po' del mestiere (quale?). Comunque ve la riporto, per come l'ho capita io. 

Il concetto fondamentale sui cui si basa è il teorema (scusate il termine non proprio da parrucchiere) degli zeri. Questo stabilisce che una funzione continua (oggi bisogna che usi le parole di questo signore se no poi quelli del mestiere si arrabbiano), se prima è positiva e poi è negativa- o viceversa- prima o poi vale anche a zero. Un po' come dire che se con l'ascensore parti dal piano -2 per arrivare al piano 4, devi per forza passare anche dal piano terra...

Partiamo da un preliminare (anche in matematica in genere si comincia così...). Prendiamo una superficie chiusa qualsiasi come quella in figura. Scegliamo una qualsiasi direzione del piano. Per semplicità (ma non cambierebbe nulla facendo diversamente) quella orizzontale. Facciamo vedere che esiste una retta r con quella direzione che taglia in due parti equivalenti la superficie. Chiamiamo A la parte della superficie sopra la retta e B quella sotto. E' facile vedere che queste due parti variano con continuità al variare della posizione della retta r (che è per esempio univocamente determinata dalla direzione e dalla distanza x dal punto più basso della superficie) nel piano. Definiamo f(x)=A(x)-B(x), ovvero la differenza delle superfici superiore e inferiore quando la retta r si trova a distanza x dalla parte più bassa. E' evidente che f(0)=A(0)> 0 in quanto  è uguale all'intera superficie (B(0)=0). Se calcoliamo la funzione nel punto "più in alto" della superficie, chiamiamolo h, sia ha f(h)=A(h)-B(h)=-B(h). Che è l'opposto dell'intera superficie. Quindi poiché in 0 e h la funzione f assume valore discordi, deve esistere un punto c con 0<c<h tale che f(c)=0, ovvero A(c)-B(c)=0. Ovvero A(c)=B(c). Non è difficile notare che la retta r in questione è unica! Questo conclude il preliminare. Attenzione a non stancarvi troppo con i preliminari perché se no vi perdete la parte interessante...

Abbiamo quindi fatto vedere che scelta una direzione posso trovare una (e una sola) retta con quella direzione che divide la superficie in due parti equivalenti. Posso quindi, applicando due volte questo ragionamento trovare due rette ortogonali tra loro (facciamo finta che siano proprio gli assi cartesiani) con tale proprietà. A questo punto la superficie risulta divisa in 4 regioni. Chiamiamole seguendo i quadranti del piano cartesiano A,B, C, D come nella figura che segue.

Poiché le rette x e y dividono la superficie in due parti uguali, è chiaro che

A+B= C+D e B+C=A+D. Da questi, con conti che ho capito persino io, si ricava che A=C e B=D.

A questo punto escogitiamo questo trucchetto. Chiamiamo x l'angolo che l'asse delle ascisse forma con l'orizzontale. Per ogni x è chiaro che posso trovare un sistema di assi cartesiani con l'asse delle ascisse inclinato di x rispetto all'orizzontale. Chiamo f(x)=A(x)-B(x). Consideriamo la situazione della figura sopra con x=0. Se f(0)=0, come nel preliminare, sarei arrivato alla conclusione cercata. Altrimenti, supponiamo che f(0)=A(0)-B(0)>0. Facciamo ruotare gli assi di 90 gradi in senso antiorario. Per l'unicità delle singole rette, gli assi, seppur con nomi invertiti, tornano a coincidere con quelli precedenti. Ma attenzione, perché avevamo detto il nome dei riquadri seguiva quello consueto di un sistema di riferimento cartesiano (intendo dire che la regione A è sempre quella che sta nel primo quadrante, la B nel secondo, e così via...). La situazione è quella nella figura che segue:

Calcoliamo f(90)=A(90)-B(90). Ma, confrontando le due figure, si osserva che A(90)=B(0) e B(90)=C(0). Quindi f(90)=B(0)-C(0). Ma avevamo detto che C=A, quindi f(90)=B(0)-A(0) che è esattamente l'opposto di f(0). Dal teorema degli zeri segue che esiste una angolo c tra 0 e 90 gradi, per il quale f(c)=0, ovvero che B(c)-A(c)=0, ovvero A(c)=B(c). Mettendo insieme questa uguaglianza a quelle sopra si ha che per questo angolo, il sistema cartesiano corrispondente, taglia la figura in quattro parti equivalenti. 

La spiegazione fu convincente... però avevo una domanda da fare ancora a questo simpatico signore. "Ho capito che, in linea teorica, è possibile farlo, ma come lo effettuo veramente un simile taglio...?"

"Dé...mica sarai pisano? te pensa a fare il barbiere... che a quest'altre cose meglio che ci si pensa noialtri!"

"A che serve sapere di poter fare una cosa, se uno comunque non sa come praticamente come farla? Pensa a questo fatto... tu potenzialmente potresti piparti Belen. E' facile dimostrare che ci sarebbero tutti i presupposti e gli attrezzi per farlo... ma poi in pratica..."

"... in pratica si rimane uomini di polso fino in fondo!"

Che personaggio!

IX: Vuole un taglio particolare?

Vuole un taglio particolare?

La giornata in bottega stava volgendo al termine. Non era successo niente di particolare tutto il giorno. I soliti clienti dell'inizio settimana, le solite smadonnate per le partite di calcio e la pesantezza insita in ogni inizio settimana. Mi chiedo spesso quante frustrazioni si eviterebbero semplicemente facendo iniziare la settimana da Giovedì o Venerdì... Prima o poi magari lo faranno.

La notizia che andava per la maggiore era quella del decadimento di un politico importante. Non ricordo il nome, non mi sono mai interessato a queste futilità. La conclusione però unanime di tutti i presenti fu una sorta di proprietà onto-commutativa: cambiando i politici al potere i risultati non cambiano. In pratica, gira che ti rigira, sono sempre loro a spartirsi la torta. Riescono sempre a trovare il modo di far quadrare i conti. Di tagliarla come meglio li aggrada. Forse stavo pensando ad alta voce visto che ad un tratto...

"Bella questa immagine della torta" mi rispose ad alta voce il cliente che stavo rasando.

"Beh, caro Bernardino, non è che sia una gran novità come immagine..." rispose stizzito uno che aspettava in una sedia.

"No, no... quello no... ma, mentre venivo accarezzato dal rasoio, con gli occhi chiusi sulla poltroncina, stavo immaginando questa torta... strana di forma... con quattro politici voraci intorno... che se la vogliono spartire..."

"Allora? Non vedi che è il solito magna magna?" Si aggiunse un terzo, distogliendo appena lo sguardo dal giornale.

"Quello che mi domandavo, visto le richieste esose dei nostri politici, era questo... si vogliono dividere questa torta in 4... ma non si accontentano di un'equa (ragioniamo semplicemente in termini di superficie) divisione, vogliono farlo con due tagli soltanto, semplici ed eleganti. Due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro!"

"Ma drogarti come tutti? Un po' di sano alcolismo?" Replicò il signore di prima...

"Non mi sembra un quesito tanto complicato- intervenni quasi senza volerlo nell'accesa discussione- basta prendere la torta e fare un primo taglio seguendo un diametro e l'altro nel diametro perpendicolare al primo, no?"

"Beh- rispose subito Bernardino- quello lo puoi fare se la torta ha una superficie circolare (trascuriamo lo spessore, quello possiamo considerarlo uniforme)... quello che mi chiedevo io è se sia sempre possibile tagliare una torta, anche di forma irregolare, in 4 parti uguali, con due tagli rettilinei perpendicolari tra loro..."

"Ah... questo è un altro discorso... " Mi chiusi in un imbarazzato silenzio, soprattutto per aver dubitato che Bernardino, uomo noto per acume e intelligenza, avesse potuto proporre un quesito ridicolo come quello che avevo pensato all'inizio..."

La questione non è semplice... sempre che sia possibile. Se come al solito qualcuno ha un'idea, qui in bottega è sempre il benvenuto. 

VIII (S): Indovina chi viene a cena

Indovina chi viene a cena

E' passato un po' di tempo dall'ultima volta che ci siamo visti in bottega. Ho avuto un po' da fare nel frattempo: corsi di aggiornamento per nuove acconciature, seminari su balsami miracolosi, stage non retribuiti su come dare cento colpi di spazzola a qualche cliente arrivista... In una di queste trasferte, mentre ero a Londra, riferii il quesito dell'ultima volta ad un energumeno palestrato italiano che viveva da un po' di anni lì insegnando chimica, biologia e simili ai piccoli delinquenti inglesi. Un tipo simpatico, nonostante l'aspetto poco rassicurante. Sicuramente una brava persona.

Il quesito, per chi se lo fosse dimenticato (dubito!), era il seguente: quattro amici, due ragazzi e due ragazze, decidono di passare una serata divertente e vogliono avere tutti i rapporti etero possibili protetti. Dispongono però soltanto di due preservativi che, loro malgrado, sono costretti a usare più di una volta. Come devono fare per evitare rischi di possibili contagi.

 Il tipo italo-inglese si chiamava Andrea e, tanto divertito quanto incuriosito dall'insolita questione, propose la seguente elegante (come la cena) soluzione. Per semplicità chiamiamo i due maschi M1 e M2 e le due ragazze F1, F2. I due preservativi presentano in tutto quattro superfici separate, ognuna delle quali dovrà sempre entrare in contatto con la stessa persona. Basterà procedere così: M1 si mette entrambi i preservativi, uno sopra l'altro (se così facendo, si ha una sostanziale aumento delle dimensioni dell'attrezzo, porsi qualche problema...), e andrà con F1. Quindi si toglie il preservativo più esterno e va con F2. In questo modo lui ha utilizzato una sola superficie del primo preservativo mentre le ragazze le due superfici esterne di entrambi. A questo punto M2 prende il preservativo che si è tolto all'inizio M1 (la cui superficie interna era stata a contatto soltanto con il preservativo interno) e va con F1 (che quindi riusa la stessa superficie), poi infila l'altro preservativo sopra a quest'ultimo e va con F2. Così è risolto il problema.

Convinti? Provare per credere!

VIII: Indovina chi viene a cena

Indovina chi viene a cena

Era quasi l'ora di chiusura, quando nella bottega si è presentato un ragazzo con un'aria tanto eccitata quanto pensierosa. Era venuto a farsi l'ultimo taglio della serata, anche se- a dire il vero- andare a casa qualche minuto prima oggi non mi sarebbe dispiaciuto affatto. Appena uscito il signore prima di lui, ha guardato con attenzione la porta come a controllare che fosse ben chiusa e che non ci fosse nessuno nel locale. Lì per lì ho pensato che mi volesse rapinare o qualcosa del genere. Così, per rompere un po' il ghiaccio, ho iniziato con i convenevoli. Era un ragazzo di una venticinquina d'anni, anche lui come molti, qui nel paesino per la vacanza estiva. Una volta un po' entrato in confidenza chiedo qual è il problema che sembra crucciarlo e non dargli tregua. "Niente, niente" si affretta a rispondere. Ma era chiaro come l'acqua che stesse dicendo una cazzata. "Meglio così, risposi io..." lasciando cadere il discorso. A un certo punto però, sentendosi in ambiente amico, mi racconta uno dei più strani quesiti che io abbia mai sentito. 

"Il fatto è- comincia a raccontare- che questa serata abbiamo organizzato una cena piccante"

"In che senso?" domandai, quasi sicuro che non riguardasse qualcosa di prettamente gastronomico.

"Nel senso che siamo due ragazzi e due ragazze decisi a passare una bella serata..."

"Buon per voi. Non vedo quale sia il problema"

"A dirla così in effetti nessuno... mi vergogno un po' a dirtelo, ma magari mi potresti dare una mano a trovare una soluzione"

"Dimmi pure" mi affrettai incuriosito.

"Il fatto è che... stasera avevamo intenzione di divertirci... insomma... "

"droga, alcol, sesso?" provai ad aiutarlo.

"ecco... l'ultima che hai detto!"

"Beh un buon modo direi per passare 5 minuti mi sembra"

"Si, il fatto è che volevamo fare qualcosa di diverso. Ovvero avere tutti i rapporti etero possibili."

(Che resistenza pensai... ma a parte quello, dove è il problema?)

"Beati voi che siete giovani... se ancora ci riuscite ben venga..."

"Si, ma la farmacia è chiusa e abbiamo soltanto due preservativi e vogliamo avere tutti rapporti rigorosamente protetti!"

"mmmm... se la matematica non è un montino di brecce, come direbbe un mio vecchio compagno di classe, i rapporti in tutto sono 4 e i profilattici a disposizione sono 2. Giusto?"

"Giusto... e non vorremmo lasciarci sfuggire un'occasione così... hai visto mai ci ripensino le ragazze..."

"Ma non avete problemi, per quanto molto inusuale, a usare più volte un preservativo?"

"No no... quello è il meno. Purché ognuno non entri mai in contatto diretto con la superficie usata da un altro."

"Questo è un bel problema di topologia sembrerebbe..."

"Che non si fa per la topologia" aggiunse poco convinto di quello che stesse dicendo l'altro.

 

Ricapitolando velocemente il problema. Due ragazzi e due ragazze vogliono avere tutti e 4 i rapporti etero possibili. Dispongono soltanto di due preservativi che sono disposti a utilizzare più volte alla sola condizione però che nessuno entri mai in contatto con la superficie che in qualche rapporto è stata usata da uno degli altri. C'è un modo? La soluzione, per quanto inusuale, sembra esserci...

VII (S): Fidarsi è bene...

Fidarsi è bene...

Il problema riguardante il sorteggio a distanza per quale giocatore dovesse fare la prima mossa in una partita a scacchi via internet è il seguente: avendo a disposizione soltanto un pc, con relativa calcolatrice, è possibile trovare un metodo per avere un sorteggio equo tra due persone? O meglio, si riesce, tramite l'aritmetica, a simulare il lancio di una moneta?

Nel negozio stava aspettando pazientemente il suo turno leggendo un giornale un signore canuto con uno spiccato accento francese. Si chiamava Marco e si autodefiniva un esperto di matematica. Ascoltando la conversazione il suo sguardo ebbe come un lampo subitaneo che lo attrasse quasi suo malgrado dentro alla discussione.

"La risposta è nei numeri primi. Possiamo utilizzare un metodo che assomiglia molto a quello utilizzato per proteggere i nostri conti in banca e le nostre password."

"Cioè mettere i pallini neri al posto delle lettere e dei numeri" tentò di intromettersi l'ingenuo scacchista.

Ma, fingendo di non avere ascoltato, il vecchietto proseguì:

"Ogni numero primo, eccetto il 2, è dispari, di conseguenza quando si divide per 4 i due possibili resti sono 1 o 3. Queste due tipologie di numeri (i matematici più audaci possono tentare la dimostrazione) hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali. Ovvero sono due insiemi infiniti."

Faccio fatica a capire dove vuole andare a parare. 

"Il fatto che i numeri primi si dividano in questi due gruppi, ci potrebbe suggerire l'idea di associare- ad esempio- l'evento Esce testa a quelli che divisi per 4 danno resto 1 e l'evento Esce croce a quelli che divisi per 4 danno resto 3."

"Beh non mi sembra una grande idea in ogni caso." Mi permetto di osservare. "Una volta che uno sceglie un numero primo, per quanto grande, è facile capire qual è il suo resto quando viene diviso per 4... basta controllare le ultime due cifre..."

"Si questo è vero, prendendo un numero primo soltanto la situazione non sembra migliorare. Ma osserva che succede se prendiamo due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 e li moltiplichiamo tra loro."

"Che succede?"

"Se un numero diviso per 4 dà resto 1 vuol dire che è della forma: 4n+1 con n numero naturale. Allora siano 4a+1 e 4b+1 questi due numeri. Moltiplicandoli si ottiene: 

(4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1. 

Quindi moltiplicando due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 si ottiene ancora un numero che diviso per 4 dà resto 1."

Bah se l'età fa questo effetto mi comincio a preoccupare da subito... 

"E ora prendiamo due numeri dell'altro gruppo, quelli che divisi per 4 danno resto 3 e moltiplichiamoli tra loro. Che succede?"

"Se ho capito bene- intervenne lo scacchista sprovveduto- daranno un numero che diviso per 4 dà resto 3..."

Ancora facendo finta di non sentire, ma visibilmente irritato, proseguì:

"Se un numero diviso per 4 dà resto 3 vuol dire che è della forma 4n+3, con n numero naturale. Allora siano 4a+3 e 4b+3 questi due numeri e come prima moltiplichiamoli:

(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=16ab+12a+12b+8+1=4(4ab+3a+3b+2)+1

Quindi moltiplicando due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 si ottiene anche in questo caso un numero che diviso per 4 dà resto 1!"

Forse la luce in fondo al tunnel...

"Quindi per fare un sorteggio via chat possiamo metterci d'accordo in questo modo. Stabiliamo come prima a quale gruppo di primi associare l'evento Testa e a quale quello Croce. Dopodiché io prendo due numeri primi da uno stesso gruppo, a mio piacere, molto grandi e, aiutandomi con la calcolatrice del pc, li moltiplico tra loro. Invio il risultato tramite chat al mio avversario che, in meno di 5 secondi (per evitare dubbi sull'utilizzo di altri software collaterali) mi deve dire se sceglie testa o croce (o similmente primi con resto 1 o primi con resto 3). Una volta che il mio avversario ha fatto la sua scelta io gli spedisco via chat i due primi che ho moltiplicato tra loro. Se i due primi erano del gruppo che aveva scelto lui, spetta a lui fare la prima mossa, altrimenti i bianchi toccheranno a me."

Però... mica male il vecchietto! 

Riflettevo tra me e me sul perché prendere i numeri primi per fare una cosa del genere quando in fondo posso fare un ragionamento del tutto identico usando al loro posto due numeri dispari qualsiasi (il che bypassa completamente un dettaglio non trascurabile come la dimostrazione- la prima delle quali dovuta a Dirichlet- del fatto che ci siano tanti numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 quanto quelli che divisi per 4 danno resto 3... ).

Il problema è che se si prendono due numeri dispari non primi le scomposizioni in coppie di fattori non è più unica... e forse c'è il rischio di avere trovato un rimedio peggiore del male.

E che la vecchiaia porti anche a me un po' di saggezza...

VII: Fidarsi è bene...

Fidarsi è bene...

Era un po' di tempo che nella bottega non si presentava qualche questione interessante. Ultimamente si parlava soltanto di fantasy e fantascienza: la vera storia dell'Hobbit, i segreti dell'alchimia e togliere l'Imu rimborsandola a Maggio...

Oggi però è tornato nel negozio quel ragazzo che perdeva sistematicamente il sorteggio con la monetina  contro il suo coinquilino per chi dovesse prendere i bianchi nella partita a scacchi (Vedi post n. VI). Ci teneva a dirci che la soluzione proposta nelle settimane passate aveva portato notevoli giovamenti. Il problema è che adesso che il coinquilino si è trasferito in un'altra città, per giocare a scacchi a distanza usando il pc, il sorteggio è tornato ad essere motivo di sospetto. Da quando infatti giocano a distanza, anche con il nuovo sistema del doppio lancio della moneta, non riesce più a vincere un sorteggio.

"Mi sembra strano. Possibile che con il nuovo sistema che ti avevamo suggerito, i sorteggi sono tornati ad essere tutti a favore del tuo avversario?"

"Purtroppo si..."

"Ma tu hai seguito alla lettera le istruzioni?"

"Si si, ci sentiamo per chat, lui mi chiede di scegliere la sequenza croce-testa o testa-croce che preferisco, poi si mette a lanciare qualche volta la moneta e alla fine mi dice l'esito..."

"Che è sempre contrario alla tua scelta..."

"Infatti... strano vero?"

"Usate una web cam?"

"No no... figurati. Lui dice che gioca in deshabillé, quindi si vergogna a usare la webcam..."

La situazione in effetti è più delicata della precedente. Qui si tratta di stabilire un metodo equo per fare un sorteggio tra due persone a distanza. Inutile dire che sistemi come il lancio di una moneta o di un dado (checché ne pensi il nostro amico scacchista sprovveduto) si rivelano totalmente inefficaci. Non possiamo nemmeno affidarci a software che sorteggino a caso, visto che questi potrebbero essere presenti nel pc di uno e non dell'altro e presenterebbero le stesse controindicazioni di un dado o di una moneta.  Però il pc qualche aiuto ce lo può dare. In fondo in ogni pc, per quanto scadente, c'è una calcolatrice. In che modo si potrebbe utilizzare questo strumento?

Riassumendo il quesito di oggi è il seguente: ci chiediamo se sia possibile stabilire un sistema di sorteggio equo tra due persone, sfruttando un minimo le potenzialità di calcolo del pc e un pochino di aritmetica.

VI (S): Monete truccate

VI (S): Monete truccate

Quante volte abbiamo avuto l'impressione che un sorteggio fosse stato fatto con troppa leggerezza? Per non usare apertamente il termine "pilotato"? Lo scacchista ingenuo sembra vittima della malafede del coinquilino, che, per sfruttare la sua superiorità tecnica con i bianchi, al momento del sorteggio del colore, lo ha convinto ad utilizzare per tale operazione la sua moneta, che, statistiche alla mano, non sembra troppo regolare.

Il quesito di oggi era proprio questo: è possibile, utilizzando una moneta truccata, effettuare un sorteggio equo tra due contendenti? Per truccata si intende che le due facce (testa e croce) non hanno (necessariamente) la stessa probabilità di presentarsi e per equo che ognuno dei due contendenti ha le stesse probabilità dell'altro di uscire vittorioso dal sorteggio.

La domanda quantomeno insolita, trova risposta in semplici nozioni di probabilità elementare.
Supponiamo che la moneta sia truccata in questo modo: la probabilità dell'evento "esce testa" è p e, di conseguenza, quella dell'evento "esce croce" è 1-p.

E' chiaro che effettuando un solo lancio della moneta, non possiamo venire a capo della situazione. 

Lanciando una sola volta la moneta i due eventi sono equiprobabili soltanto quando p=0,5. Ma questo non sembrerebbe il caso.

I due giocatori potrebbero trovare allora il seguente accordo. La moneta viene lanciata due volte: se si presenta in sequenza Testa-Croce vince il primo, se invece si presenta Croce-Testa vince il secondo. Qualora esca due volte consecutive la stessa faccia non vince nessuno e si rieffettuano i due lanci.
Vediamo perché questa soluzione (soltanto una delle possibili ovviamente) pone fine al problema.
L'esito di un singolo lancio è indipendente dall'altro. Quindi la probabilità che esca
i) Testa-Croce è p x (1-p)
ii) Croce-Testa (1-p) x p

Grazie alla commutatività del prodotto, è immediato constatare che i due eventi sono equiprobabili. Così facendo, l'ingenuo scacchista, forse, eviterà qualche volta di lavare i piatti. Dico forse, perché se la sua intuizione non lo ha portato prima a smascherare l'inganno, dubito un pochino anche delle sue doti di deduzione scacchistica...

VI: Monete truccate

VI Monete truccate

Mentre questa mattina riaprivo la bottega, ripensavo alle parole di quel signore riguardo a Lance Armstrong e al fenomeno doping nel ciclismo. Pensa un po', aveva ragione. Sapeva tutto ancora prima che lo pseudo-campione americano confessasse. 

Meno male che ci sono tanti giochi ancora puliti, che non conoscono il fenomeno delle droghe. Mentre parlavo tra me e me (almeno così credevo) di queste cose, si intromette nel mio soliloquio un giovanotto dicendo che il doping è un fenomeno che coinvolge o coinvolgerà prima o poi tutte le competizioni dove il ruolo del fisico è determinante: tennis, calcio, atletica, nuoto, etc... 

Chiesi allora quali sono gli sport che, a suo parere, rimarranno "puliti".

"Beh, i giochi dove si usa più la mente che il corpo: il bridge, gli scacchi, il go, etc..."

"Ma anche in quelle discipline incombe la minaccia di sostanze che mirano ad aumentare la concentrazione di un giocatore, tipo la cocaina... no?"

"Forse è così, ma non sono convinto né che il fenomeno sia così diffuso, né che possa incidere con lo stesso peso che negli altri sport. Guarda il bridge, da 50 anni vincono sempre le stesse nazionali. Dipendesse dal doping, ci sarebbe stata quanto meno più alternanza... lo userebbero anche qui un po' tutti."

Magari è come diceva lui. Non ne so molto di questo mondo. 

"Quindi- chiesi- tu sei un giocatore di bridge?" 

"Io sono uno scacchista. Negli scacchi non esiste il doping. Esiste il tuo avversario. Esiste il tempo che talvolta è tuo alleato, talvolta il tuo secondo avversario. Io gioco tutte le sere una partita con il mio coinquilino, per decidere chi laverà i piatti della cena. Si sorteggia con una moneta il colore e si gioca."

"Perché sorteggiare il colore, cosa cambia giocare con le pedine nere piuttosto che con quelle bianche? Mica mi vorrai dire che non si è diffuso il fenomeno del doping negli scacchi, ma è dilagato subito quello del razzismo?"

Mi ha guardato con la stessa faccia con la quale un uomo guarda la moglie quando gli chiede di spiegarle il "fuorigioco" e ha aggiunto stizzito: "Non è una questione di colore, è che, storicamente e da regolamento, la prima mossa spetta al bianco. Quindi c'è un leggero vantaggio. Tra l'altro il mio coinquilino è praticamente imbattibile quando gioca per primo."

"E quindi, tirando le somme, quante volte hai vinto negli ultimi dieci giorni?"

"A dire il vero solo una volta, l'unica volta che il sorteggio mi è stato favorevole."

"E nell'ultimo mese, quali sono state le tue performances?" 

"Beh, ho vinto tutte le volte che ho iniziato."

"Non male, quindi quante per essere precisi?"

"Oltre quella che ti ho detto prima, un altro paio di volte."

"Ah mi vuoi dire che su trenta sorteggi, ne hai vinti solo tre?"

"Me ne vuoi fare una colpa?"

"No, no... è che mi sembra strano. Poi certo, può succedere. Però è strano."

"In effetti. Soprattutto perché anche nel mese prima, vinsi il sorteggio soltanto quattro volte..."

"...su trenta! Sette su sessanta."

"Sono proprio sfortunato."

"Puoi dirlo forte. Ma con che moneta fai il sorteggio? E' proprio vero che l'euro ci ha portato sfida!"

"E' la moneta fortunata del mio coinquilino a dire il vero, quella che usiamo sempre."

Questo spiega molte cose. Ma forse meglio non dirglielo. Io mi sarei insospettito subito. Sono di quelli che hanno piena fiducia sia nelle probabilità che nelle statistiche. Nel senso che se lancio due volte la moneta e nel primo lancio esce testa, se nel secondo esce ancora testa, per me, è già sospetta!

Ancora peggio per le statistiche. Ricordate quel recente sondaggio inglese che stabiliva che una persona su due tradisce il partner? E' allucinante. Nel senso: se non sei tu, è tua moglie!

Ma queste sono considerazioni a margine. Chiedo allora perché non proponesse di fare il sorteggio con un'altra moneta. "Non si può. Negli accordi iniziali c'è quello di fare il sorteggio sempre con quella moneta." 

Possibile che anche quando sceglie lui per primo la faccia della moneta non riesca a vincere? Mah... chi ci capisce qualcosa. Mi chiedo però se ci sia un modo di fare un sorteggio equo con una moneta truccata.

Non che mi dispiaccia sapere questo giovanotto con il grembiulino che lava i piatti (magari fa meno danni lì che altrove),  però un domani potrebbe capitare a me una situazione simile.

Ricapitolando, il quesito di oggi è semplicissimo. Supponiamo che dobbiamo fare un sorteggio con una moneta che sospettiamo truccata. Ma non ne abbiamo altre e dobbiamo per forza usare quella. Per truccata intendo nella fattispecie che (forse) non c'è la stessa probabilità tra gli eventi esce testa e esca croce. Come ci possiamo mettere d'accordo con altra persona al fine di avere un sorteggio equo, ovvero che garantisca il 50% di probabilità di successo a testa?

V (S): Un nuovo criterio di divisibilità per due

Un nuovo criterio di divisibilità per due

Il problema della divisione di una pizza in due si può rivelare più antipatico del previsto, soprattutto se i contendenti sono due bambini che urlano e frignano per qualsiasi inezia che ritengano enorme fonte di iniquità. 

La questione era la seguente: due persone, ugualmente affamate, vogliono dividersi "equamente" una pizza in due parti. Con il termine "equamente" intendo che una volta deciso un criterio per dividere in due la pizza, nessuno dei due contendenti ha motivo di lamentarsi del pezzo che si mangerà.

Per fortuna quel giorno, una signora dai lineamenti direi minuti, scossa e infastidita dalle grida dei frugoletti, trovò il modo per dipanare la questione. 

"Tanto tanto tanto tempo fa"- secondo me è un aneddoto della sua fanciullezza- "viveva un re rinomato per la sua sapienza e la sua saggezza. Il suo nome era Salomone. A quel tempo non esisteva il giudice di pace, il TAR, la cassazione, la Boccassini etc... e il re si doveva occupare anche delle questioni più complicate da sbrogliare. E quello che un giorno gli fu sottoposto sembrava un caso veramente irrisolvibile.

Due donne si presentarono da Salomone: ciascuna aveva partorito un figlio a pochi giorni di distanza l'uno dall'altro ed entrambe dormivano nella stessa casa. Una notte accadde che uno dei due bambini morì e sua madre, secondo l'accusa, aveva scambiato il figlio morto con quello vivo dell'altra donna mentre questa dormiva. Salomone, dopo aver ascoltato le due donne sostenere più volte le loro tesi, fece portare una spada e ordinò che il bambino vivente fosse tagliato a metà per darne una parte a ciascuna di esse.  Allora la vera madre lo supplicò di consegnare il bimbo all'altra donna, pur di salvarlo. Salomone capì così che quella era la vera madre e le restituì il bambino. Fu così reso noto a tutti che Salomone era veramente un re buono, santo, di fede."

Una bella storia senza dubbio! "E' commovente tutto ciò- risposi alla signora che sembrava uscita da un simposio di catechiste- ma come ci aiuta questo a risolvere il problema della divisione della pizza? E di conseguenza a porre fine allo strazio delle grida di questi balordi? Bambini volevo dire."
"Ci aiuta, in quanto, in memoria della sua saggezza e, probabilmente, con qualche attinenza al problema della spartizione in due di un bambino, c'è un teorema di matematica che porta il suo nome. Ed è proprio legato alla spartizione di una pizza!"
Certo che i matematici non hanno più niente di serio su cui pensare. "In che consiste questo teorema come lo chiama lei?"
"Beh niente di più semplice. In fondo si vuole dividere una pizza in due, ma non in parti perfettamente uguali- il che sarebbe impossibile anche con la più moderna tecnologia a disposizione, ma in parti di cui poi non si dovranno lamentare i due pargoli."
Quindi? Non è la stessa cosa?
"Quindi basterà far dividere la pizza in due parti (che lui reputa uguali) a uno dei due bambini, dopodiché l'altro sceglierà per primo. Chi ha diviso la pizza non potrà lamentarsi in quanto secondo lui (artefice della divisione) le parti sono uguali e chi ha scelto.... beh ci mancherebbe che si lamenta della parte che sceglie!"
Semplice e ineccepibile mi sembra.
Rallegrato della quiete rinvenuta nella sala, ringraziai la signora, una tale Stefania, secondo me contemporanea di Salomone (se no qualcun altro avrebbe saputo di questa vicenda delle madri no?).
Nel salutarla commentai con una nuova luce negli occhi il racconto della signora: "Però, in effetti Salomone aveva avuto un'idea meravigliosa. Avrebbe risolto il problema in dieci secondi."
"Sei rimasto anche tu colpito dalla saggezza del terzo re di Israele?"
"Certo, in effetti, tagliare in due di netto con una spada affilata entrambi i marmocchi, mi avrebbe risparmiato un'ora di fracassamento di..."
Non mi lasciò terminare la frase che se andò scuotendo la testa.
Quasi a insinuare che io non avessi compreso il vero significato del suo aneddoto.
Bah chi le capisce le donne.

V: Un nuovo criterio di divisibilità per due

V: Un nuovo criterio di divisibilità per due

Finalmente dopo le vacanze, l'attività ha ripreso il suo normale corso. C'è un po' di fibrillazione per i saldi appena cominciati accompagnata da una rassegnata malinconia per la ripresa del lavoro. Forse nel complesso è uno stato emotivo a somma zero. Per le donne...

Nella bottega oggi un signore aveva avuto la brillante idea di portarsi dietro i due figli (Dio li fulmini- ovviamente a piccole scosse!) e non vi dico che confusione nella mia piccola saletta. Era un via vai di macchinine, di videogiochi al telefonino e soprattutto di urla isteriche incontrollabili. E tutto questo prima che passasse un minuto la madre a portar loro un pezzo di pizza bianca. Non vi sto a narrare la confusione per la divisione di questo pezzo enorme di pizza tra i due pargoli.

Dopo due minuti di grida e mezzi pianti, anche visibilmente alterato, ho domandato quale fosse il problema. Non potevano avere ognuno metà pizza e festa finita?

"Il problema è che, per quanto uno stia attento a dividerla in parti uguali, uno dei due (o paradossalmente tutti e due- ma questo non sarebbe un problema di difficile soluzione) si potrebbe lamentare della parte toccata all'altro... sa come sono i bambini..."

So come sono i bambini. Per questo non li ho messi per ora in cantiere. Ma questo non potevo dirglielo.

"Non può dividerle equamente lei e poi darle ai pargoli?"

"Il problema è che quello che io considero equo potrebbe non esserlo per loro. Magari poi quando glieli vado a dare, uno dei due dice che l'altro è più croccante, più morbido, più grande, più saporito... sa come sono fatti i bambini".

So come sono fatti i bambini! Per questo non vendo cibo dentro al negozio. Altrimenti offrivo la colazione come da Tiffany!

"Beh una volta che li ha divisi, non può farglieli scegliere a loro? Almeno non si lamentano."

"Non si lamentano fin quando non scelgono entrambi lo stesso pezzo! Se uno dei due sceglie per primo poi l'altro- pensando a chissà quale ragionamento ci sia dietro la scelta- si accoda e reclama lo stesso pezzo. Sa come ragionano i bambini..."

So come ragionano i bambini. Per questo uno dovrebbe organizzare i simposi con i pargoli all'interno della propria casa e non nella mia bottega.

"E dividerla in tanti pezzi più piccoli, a parte le molliche che mi lascerebbero a tonnellate sui pavimenti, non risolverebbe la situazione."

Qualcuno ha un'idea su come dipanare la questione? 

Ricapitolo brevemente il problema. C'è un pezzo di pizza bianca e due bambini tanto egoisti quanto ingordi, decidono di dividerla in due parti eque! Ma eque nel senso loro. Cioè che dopo la divisione nessuno possa lamentarsi del pezzo a lui destinato. Come si possono accordare per riuscire in questa antipatica divisione per due?

Il dilemma del prigioniero sportivo

Il dilemma del prigioniero sportivo

Ho riaperto la bottega proprio oggi, per il giorno dell'Epifania. In effetti non è stata una grande idea. Nel negozio non è venuto quasi nessuno. Forse avrei dovuto quanto meno ricordarmi di scrivere fuori che avrei riaperto oggi. Pensavo di fare al mondo una sorpresa gradita. Vabbeh. Ho passato la giornata ascoltando un po' di sana radio, che per fortuna ancora non è degenerata come la tv. Stavano parlando degli eventi sportivi del 2012: dagli europei, al campionato impeccabile della Juventus per poi passare al ciclismo e alla clamorosa revoca delle 7 vittorie al tour de France di Lance Armstrong. Proprio su questa notizia, un cliente che non avevo mai visto, commenta laconico: "Beh, con lo stesso criterio dovrebbero togliere gli ultimi titoli a tutti i vincitori, più o meno dal '90 ad oggi!". Non posso credere che tutti i ciclisti che hanno vinto gare importanti si siano dopati. Lo pensai prima tra me e me poi espressi al nuovo arrivato il mio pensiero. Lui, con un'aria tanto triste quanto consapevole di quello che stava per dire, continuò così: "La matematica ha fatto troppi passi da gigante in questi ultimi anni per tenersi lontano dal mondo dello sport. Il problema è che i due mondi si sono avvicinati dalla parte sbagliata: la parte sana e nuova della matematica- la Teoria de Giochi intendo!- con la parte malata dello sport- il Doping... come si stava dicendo."

La risposta mi ha spiazzato ancora di più della prima affermazione. Gli chiesi allora di farmi comprendere meglio quello che stesse dicendo. Ma con parole elementari anche per un povero parrucchiere!

"E' semplice caro mio e se ha cinque minuti posso provare a spiegarglielo". Persa per persa la giornata, lo assecondai. D'altronde non potevo mica mandare via l'unico cliente di oggi. 

"Per un ciclista non esiste vicissitudine più demoralizzante che essere superato da un avversario su una salita. Allo stremo delle forze sa che deve rimanere in contatto coi primi, altrimenti la sua motivazione svanirà insieme alla sua speranza di vittoria. Ma un ciclista, che si allena con costanza, riuscirà a migliorarsi fino a un certo limite. Un limite "genetico" e non può farci nulla. O meglio, nulla di eticamente encomiabile. Se tale ciclista pratica questo sport per passione, allora sarà soddisfatto una volta raggiunto il suo limite. Ma se questo atleta fosse un professionista? Il problema diventa più spinoso: supponiamo- per assurdo!- che la squadra di questo ciclista avesse nel "programma medico" alcune sostanze per migliorare le prestazioni e che tale ciclista sarebbe stato tagliato fuori qualora non fosse risultato competitivo. Supponiamo infine che tale ciclista fosse stato certo che tutti i suoi avversari facessero uso di doping e che i controlli fossero quasi sempre inefficaci".

Il dilemma etico cominciava ad essere chiaro, la precedente insinuazione con la matematica rimaneva ancora molto molto fumosa. "Cosa c'entra in tutto questo la matematica? La teoria dei giochi a cui accennavi prima?"

"Te lo spiego subito. La teoria dei giochi si occupa delle strategie che permettono, all'interno di un gioco con regole ben precise, a un competitore di massimizzare la propria vincita o minimizzare la propria perdita. L'esempio più famoso è il dilemma del prigioniero. Tu e il tuo complice (supponiamo il barbiere che sta dall'altra parte della strada) siete stati arrestati per un certo reato e venite tenuti in isolamento in celle separate. L'accordo iniziale tra voi era di non parlare. Gli investigatori presentano a entrambi le seguenti alternative:

1. Se tu confessi e l'altro prigioniero non confessa, tu sei libero e l'altro prende 3 anni di galera.
2. Se l'altro prigioniero confessa e tu non parli tu prendi 3 anni di prigione e lui è libero.
3. Se entrambi confessate, vi prendete due anni ciascuno.
4. Se entrambi non parlate, vi prendete un anno a testa.

La scelta più conveniente è ovviamente tradire l'accordo iniziale. Il perché è presto detto. Supponiamo che l'altro scelga di non parlare: allora confessando tu sei libero; se rimani in silenzio ti fai un anno di prigione. Supponendo invece che l'altro "canti": se tu confessi ti prendi due anni di prigione che sono comunque meglio dei tre che ti spetterebbero scegliendo di rispettare l'accordo."

"E' un po' da infami- constato- ma non sembra fare una piega questo ragionamento. Ma cosa c'entra con il ciclismo?"

"Nel ciclismo, come in altri sport, gli atleti competono seguendo un complesso di regole. Una di queste è appunto il divieto di assumere sostanze che migliorino le prestazioni. Tuttavia la grande efficacia di queste sostanze unita alle difficoltà da parte dell'antidoping di individuarle hanno incentivato questa pericolosa pratica. Una volta che alcuni tra i migliori ciclisti si dopano, ottenendo un vantaggio, anche i loro avversari sono costretti a fare lo stesso, causando un effetto domino che si propaga a tutti i ciclisti professionisti (e non). L'abuso collettivo di sostanze illecite ha quindi innescato in maniera naturale una strategia di omertà che ha impedito di tornare al rispetto delle regole.

Molti atleti, anche all'epoca d'oro di Coppi e Bartali, prendevano stimolanti e antidolorifici, ma i regolamenti antidoping sono stati inesistenti fino a quando Tom Simpson nel 1967 morì per un'overdose di anfetamine durante la scalata del Mont Ventoux. Anche dopo questo tragico evento, tutto sommato, i controlli sono stati sporadici e pochi consideravano il fenomeno doping come qualcosa di antisportivo. Poi negli anni '90- come ti dicevo all'inizio- qualcosa è cambiato. Quel qualcosa si chiama "eritropoietina ricombinante ingegnerizzata geneticamente". In una sola parola r-EPO. Questa sostanza che stimola la produzione di globuli rossi è stata accolta come una benedizione dai malati cronici di anemia... e dagli atleti professionisti. Assumere tale sostanza ha la stessa efficacia di una trasfusione con la differenza che invece di dover trasportare grosse sacche di sangue e lunghi aghi, tale sostanza può essere conservata in piccole ampolle dentro un semplice thermos. I vantaggi di chi assume questa sostanza sono evidenti: le prestazioni di un atleta aumentano dal 5% al 20%. E' chiaro che se un ciclista forte comincia a prendere tali sostanze, nessun avversario può permettersi il lusso di lasciargli tale margine di vantaggio. E' per questa ragione che, come nel dilemma del prigioniero, la strategia che permette di ottenere maggiori benefici è quella del tradimento, quella del doping."
Cominciavo a vedere il filo conduttore di questo discorso in un primo tempo strampalato.
"Nella teoria dei giochi, una situazione in cui nessun giocatore ha qualcosa da guadagnare cambiando unilateralmente la propria strategia è definita Equilibrio di Nash. Per uscire dalla voragine del doping bisognerebbe ristrutturare il "gioco" del ciclismo in modo tale che la competizione pulita sia un equilibrio di Nash. Gli organi di controllo dovrebbero cambiare i valori delle ricompense e delle punizioni (in termini tecnici i payoff). Quando gli avversari rispettano le regole, il payoff per un comportamento corretto deve essere maggiore rispetto a quello che si ottiene ricorrendo al doping. E anche quando gli altri giocatori fanno ricorso a strategie non lecite, il payoff che si ottiene rispettando le regole deve essere maggiore di quello che si ottiene seguendo la massa degli avversari. I ciclisti non devono vedere come un svantaggio seguire le regole.
Nel caso del dilemma del prigioniero, abbassare il payoff della confessione e aumentare il patoff del silenzio nel caso l'altro prigioniero confessi aumenta la cooperazione. Ma la maniera migliore per aumentare la cooperazione è permettergli di comunicare prima di iniziare il gioco. Nel ciclismo questo significherebbe rompere il muro di gomma dell'omertà."
Però... bell'applicazione della teoria dei giochi al ciclismo. Affascinato dai modi e dai discorsi di questo signore mi sono permesso di chiedergli il nome.
"Sono Michele Shermer e più di 20 anni fai mi posi la questione se diventare un ciclista professionista o continuare la carriera all'interno dell'università. Analizzata brevemente la situazione il payoff di quest'ultima scelta mi è sembrato decisamente maggiore: 30 anni dopo sono un professionista della matematica e godo di ottima salute!"
"Bene, non mi sembra poco. Allora, si vuole accomodare? Che taglio facciamo?"
"Taglio? Ah no... ero venuto a chiederle se mi cambiava 5 euro. Mi servono le monete per la lavanderia automatica qui dietro l'angolo"
Beh sono stato aperto tutto il giorno. In un giorno festivo per di più. Qual è stato il mio payoff? Niente o quasi. Rifletterò su quel quasi.