XIII: Frate indovino dal barbiere

Frate indovino dal barbiere

Siamo nel bel mezzo delle festività natalizie e la gente ci tiene a farsi bella. La bottega è quasi sempre piena e, la presenza di cioccolatini e caramelle, attira ancora di più quelli che entrano nel locale soltanto per spettegolare e fare due chiacchiere di piazza. Nel tardo pomeriggio, entra con passo solenne un frate con tanto di tonaca. Me l'ero sempre chiesto dove andassero preti, monache e frati a farsi i capelli... 

Gli altri clienti lo salutano con reverenza e lo fanno accomodare nella poltrona più bella del negozio. Iniziano con lui una specie di discussione. Ovviamente si parla del tempo, che fa freddo, che l'anno scorso era peggio,  che c'è sempre meno gente in chiesa e in piazza, etc...

La notizia però che ci lascia più sorpresi è quella relativa al convento nella campagna qua vicino. Tutti avevamo sempre sentito parlare di questa struttura, della rigidità delle regole. Nessuno però aveva potuto toccare con mano la questione. La presenza del religioso sembrava una buona occasione per curiosare. Lui iniziando a raccontare, ci rende partecipi di un suo dubbio che lo attanaglia.

"Dovete sapere- dice- che i monaci che vivono in quel monastero seguono un codice rigidissimo. Nessuno di loro può vedere la sua immagine riflessa in uno specchio o in un qualsiasi altro oggetto o materiale con quella proprietà. Inoltre nessuno può comunicare verbalmente, gestualmente o in altra maniera con gli altri. Una volta che uno esce dal convento, non avrà più modo di farci ritorno."

"Bella vita fate..." commenta sornione il vecchietto a cui stavo lavando i capelli.

"L'unico momento di socialità è la cena. I frati si ritrovano tutti insieme e si dedicano alla lettura. Anche dei quotidiani che tutti i giorni arrivano al convento."

"Che botta di vita..."

Quasi non ascoltando, l'uomo con la tonaca continuò: "Una settimana fa, su un giornale attendibile, viene letta una notizia terribile che sconvolge la normale vita di quiete e silenzio del monastero. I frati vengono a sapere- non mi chiedete come- che almeno uno di loro è stato colpito da una malattia terribile che deve essere curata entro pochissimi giorni prima di degenerare in maniera irreversibile. Il sintomo della malattia è un pallino rosso sulla fronte della persona infetta. Ogni monaco, terrorizzato dalla malattia, decide che, nel caso si scoprisse malato, lascerebbe immediatamente, suo malgrado, il monastero."

"E poi che è successo?" Chiede un bambino incuriosito e spaventato dal racconto del frate.

"La sera stessa ogni monaco, durante la cena, guarda tutti gli altri intorno per capire qualcosa riguardo agli infetti. Il mattino dopo però nessuno ha lasciato l'edificio. E nessuno va via nemmeno dopo la seconda notte."

"...e poi?"

"Poi la terza notte qualcuno ha lasciato il convento. Per sempre. Ma quanti?"

"Quelli che si sono scoperti infetti suppongo" diceva compiaciuto il padre del bambino che aveva fatto la domanda.

"Sicuramente. Ma visto che io sono l'addetto a portare i viveri e, come vi ho detto, gli internati non possono comunicare in alcun modo con me... vorrei sapere quante provviste in meno settimanalmente devo portare. C'è un modo di sapere senza violare la privacy e le regole del convento quanti sono i frati che hanno abbandonato la struttura?"

XII (S): Uno, due, tre... cento!

Uno, due, tre... cento!

Il piccolo Flavio si era portato a casa un bel po' di figurine... senza imbrogli si intende. Ma sicuramente qualche trucco sotto ci doveva essere. Non aveva perso mai una partita. Per fare un riepilogo del gioco a cui due bambini si erano messi a giocare:

si gioca in due giocatori, il primo inizia dicendo un numero da 1 a 10. L'altro ne deve dire un altro aggiungendo da 1 a 10 al numero detto dall'avversario. Quindi riprende il primo con lo stesso criterio. Vince il primo che arriva dire

Dopo un po' di partite si deduce facilmente che, a tutti gli effetti, vince chi arriva per primo a dire 89... infatti a quel punto l'avversario può dire un numero da 90 a 99 e nessuno può più impedire all'altro di vincere la partita. 

Ma in fondo, con un ragionamento del tutto simile... vince il primo che arriva a dire 78. In questo modo costringe l'altro a dire un numero da 79 a 88. La qual cosa non impedisce all'altro di dire 89, che per quanto detto sopra, lo porta tranquillamente a vincere.

Possiamo, saltando a ritroso di 11 in 11, arrivare a dire quali sono i numeri che portano per certo (se seguiti pedissequamente) a vincere.

100- 89- 78- 67- 56- 45- 34- 23-12- 1!

Quindi, da questa breve analisi, si vede subito che la strategia vincente è in mano a chi comincia. Può sempre dire, senza essere in qualche modo ostacolato dai numeri che dice l'avversario, tutti i numeri della serie vincente soprascritta. 

Ma il piccolo Flavio è stato ancora più subdolo, perché se al suo turno, avesse iniziato a dire sempre tutti i numeri della sequenza vincente, l'altro bambino si sarebbe potuto insospettire ed arrivare piano piano al "trucco". Per depistare l'avversario i primi numeri erano praticamente casuali. Correva pochi rischi visto che l'altro non era a conoscenza della strada certa che lo avrebbe portato alla vittoria.

I bambini sanno essere sottili se ci si mettono!

XII: Uno due tre... cento

Uno due tre... cento

Ultima settimana prima dell'inizio delle vacanze. Tutti vogliono essere sistemati e azzimati per i giorni precettati per messe, vigilie e cenoni. 

Bottega piena dalle prime ore dell'alba fino alla chiusura. Oggi c'erano tanti bambini, rumorosi, irritanti, fastidiosi. Bambini insomma. Nell'attesa che gli tagliassi i capelli... e resistessi alla tentazione di tagliargli anche la lingua. Senza sovrapprezzo. Mentre attendevano il loro turno, tra le altre cose moleste che facevano, giocavano a un gioco. Il bambino che vinceva la partita poteva scegliere un figurina del perdente. Chiesi le regole... ed erano in effetti molto semplici. Si giocava in due alla volta. Il primo che iniziava il gioco diceva un numero da 1 a 10. L'altro poteva aggiungere al numero detto dall'avversario da un minimo di 1 a un massimo di 10... poi chi aveva iniziato poteva aggiungere da 1 a 10 a quest'ultimo numero... e così via. Vinceva il primo che arrivava a dire 100!

Un esempio di partita tra i due bambini (Mario e Flavio) poteva essere la seguente:

                                                      M: 4           F: 11

                                                      M: 21         F: 30

                                                      M: 40         F: 42

                                                      M: 51         F: 58

                                                      M: 65         F: 75

                                                      M: 83         F: 89

                                                      M: 93:        F:

Il gioco di per sé mi sembrava innocuo... quello che mi ha, a un certo punto insospettito, è che Mario si è messo a piangere perché in 50 partite aveva perso tutte le sue figurine!

Quello che mi chiedo è se esiste una strategia vincente per uno dei due giocatori... per chi comincia o per l'altro?

Possibile che sia una casualità che Flavio abbia vinto 50 partite su 50?

Chi mi aiuta....?

XI (S): Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse 1

Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse

Il quesito dell'ex detenuto mi ha dato molto da riflettere... per chi non se lo ricorda era il seguente:

il comandante di un carcere raduna 10 detenuti nella sala riunioni per comunicargli che la mattina seguente sarebbero stati posti in fila indiana, in modo tale che ognuno possa vedere soltanto i detenuti che sono davanti. Il primo della fila non vede nessuno. Gli verranno messi quindi dei cappelli che possono essere bianchi o neri. Non ci sono limitazioni o vincoli particolari al numero dei cappelli di un colore. Potrebbero essere anche tutti bianchi... o tutti neri. A partire da quello che vede tutti, sono tenuti a dire soltanto o bianco o nero. Se il colore pronunciato coincide con quello che gli è stato messo in testa (ovviamente nessuno può vedere il proprio cappello) allora saranno liberati subito altrimenti gli viene aumentata pesantemente la condanna. Hanno una notte di tempo per accordarsi sulla strategia da usare per poterne uscire subito il maggior numero possibile di loro. 

Una possibile strategia, diversa da quella usata dal signore nel post precedente, potrebbe essere la seguente: chiunque capita ultimo della fila, quello che vede tutti, dirà il colore che vede in maggior numero nei cappelli davanti. A questo punto ognuno di quelli davanti ripete tale colore. In questo modo se ne salvano almeno 5 su 10... ma era lo stesso risultato che si raggiungeva con l'altra strategia proposta. 

Un'idea più brillante arriva da un forestiero, che da un po' di tempo frequenta abitualmente la bottega. Lui propone di fare accordare i prigionieri così. Se l'ultimo della fila vede un numero pari di cappelli bianchi dice "bianco", altrimenti dice "nero".

Con un attimo di riflessione si riesce a capire che la strategia è molto efficace. Se ne salvano almeno 9! D'altro canto, si dovrà sperare che ogni detenuto sia abbastanza sveglio da sentire quello che dicono i detenuti che lo precedono e rispondere di conseguenza. Un minimo errore nella catena potrebbe risultare fatale e incorreggibile! 

Penso che per stasera si possa anche chiudere bottega!

XI: Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse 1

Galeotto fu il quesito e chi lo scrisse 1

Brutta giornata in bottega. Le ingiuste eliminazioni di Juventus e Napoli dalla Champions hanno reso il clima della serata quasi surreale. Imprecazioni da una parte e dall'altra per arbitri collusi o corrotti e campi che non sarebbero stati buoni nemmeno per sementare le patate! "Tutti in galera!" Gridava il fruttivendolo all'angolo della strada qui di fronte. 

"Non direste così"- se ne uscì un signore sull'uscio della mia bottega mentre entrava- "Non direste così se voi aveste vissuto veramente questa esperienza! Non si augura a nessuno".

Improvvisamente le imprecazioni nella bottega lasciarono spazio a un silenzio indagatore. Chi era costui? Perché era stato dentro? Spaccio, rapina, omicidio, feste galanti?

"Loro dicevano per dire..."- cercai di ammorbidirlo io- "dovresti saperlo che in questo paese puoi mettere un popolo in ginocchio con politiche scellerate e decisioni anticostituzionali ma non puoi negare un rigore sacrosanto a nessuno!"

"E' vero... ma io sono appena uscito da un carcere tenuto più in piedi dal sadismo dei piantoni che dalla giustizia ordinaria. E alcuni miei compagni staranno lì ancora per 10 anni per un assurdo gioco al massacro..."

"Ma se con l'indulto vi hanno fatto uscire tutti?- apostrofò il signore sotto le mie forbici- di che vi lamentate? Cosa vai blaterando?"

"A parte che i detenuti che rientrano nella liberazione dell'indulto sono una piccolissima percentuale... ma il discorso è che nel carcere dove sono stato io ormai non c'erano più regoli, né leggi, né religione..."

"tutto è iniziato quando nella casa di detenzione è entrato il nuovo direttore. Dicevano che era una brava persona. Ma il potere logora... e a lui fece un brutto effetto. Per alcuni versi mi sembrava la stessa vicenda del colonnello Kurtz in Apocalipse now..."

"Si ma arrivando al dunque... " urlò spazientito un signore, un ex poliziotto in pensione che viene in bottega praticamente una volta a settimana.

"Noi eravamo dentro tutti per reati di povertà. In genere piccoli furti. Eravamo 10. E ci chiamò nella sala riunioni per darci quella che lui definì una grande opportunità. Ognuno di noi in media aveva da scontare là dentro un anno e mezzo. Così lui ci disse che l'indomani mattina avremmo fatto un gioco. Ci avrebbero messo in fila uno dietro l'altro in modo tale che l'ultimo poteva guardare i nove davanti, il penultimo gli otto davanti e così via fino a quello davanti al muro che non vedeva nessuno.

Ci avrebbero messo in testa un cappello che poteva essere o bianco o nero. Ma non sapevamo quanti fossero i cappelli bianchi o neri (per quello che riuscivamo a capire avrebbero potuto essere anche tutti dello stesso colore). Nessuno riusciva a vedere il proprio cappello ovviamente. A partire dall'ultimo (quello che vedeva tutti gli altri 9) fino al primo ognuno di noi avrebbe dovuto dire un colore, o bianco o nero. Se il colore che diceva corrispondeva al colore del cappello che gli avevano messo in testa poteva uscire di prigione il giorno stesso, altrimenti doveva restare in prigione per 5 anni. A nessuno purtroppo fu data la possibilità di non giocare o non rispondere. Però avevamo una notte per decidere una strategia per salvarne il più possibile."

"Non potevate mettervi d'accordo per esempio sul tono della voce da usare per dire il colore? Per esempio se quello davanti a me ce l'ha bianco parlo con accento francese, se quello davanti a me ce l'ha nero parlo con finto accento tedesco..."

"Purtroppo non potevamo fare altro che dire un colore. Bianco o nero. Senza inflessioni. Senza cercare di comunicare altro se non il semplice colore. Se avessimo provato a imbrogliare in qualche modo, ci avrebbero fatti rimanere tutti e 10 in prigione per 15 anni. Non ci conveniva..."

"Voi che avete fatto? Vedo che tu sei fuori, quindi forse siete riusciti a trovare una strategia decente..."

"Ci siamo salvati appena in 5... abbiamo trovato una strategia ma non si è rivelata tanto efficace. Quelli nei posti pari (il decimo, l'ottavo, il sesto...) dovevano dire il colore del cappello di quello che vedevano davanti."

"Scusa così non vi siete riusciti a salvare almeno in 9?"

"No... perché quelli nei posti dispari dovevano dire- se si volevano salvare- il colore che gli era stato suggerito da quello precedente. E quindi non potevano dare nessuna informazione a quello dopo..."

"In effetti.. avete trovato una situazione sfortunata tipo questa allora per salvarvi appena in 5: 

B N B N B N.... l'ultimo della fila che aveva il cappello bianco, per gli accordi presi, doveva dire nero, quello dopo quindi ripeteva nero... ma il secondo bianco- il terzo a parlare- doveva dire nero perché era il colore del suo predecessore... che purtroppo non coincideva col suo..."

"Eh si.. è andata così. Mi dispiace per i compagni rimasti in cella. Il comandante ha detto potevamo trovare una strategia- lecita- migliore che portava a salvarne per certo almeno 9! Ma io non ci credo..."

In effetti è un bel quesito. Riassumendo. 10 prigionieri verranno messi l'indomani una dietro l'altro: l'ultimo della fila vede tutti gli altri davanti a sé, il penultimo gli 8 davanti... fino al primo che non vede nessuno. Sulle loro teste verrà messo un cappello che può essere o nero o bianco. A partire da quello che vede tutti, a turno, fino al primo che non vede nessuno, ognuno di loro potrà dire soltanto "Bianco" o "Nero". Se il colore che una persona pronuncia coincide con il colore del cappello che indossa, il prigioniero in questione è libero. Altrimenti dovrà scontare quasi 4 volte la sua pena. I prigionieri hanno una notte di tempo per trovare una strategia che li porti a salvare nel maggior numero. Qualcuno dice che se ne possono salvare almeno 9. Come potrebbero fare? Bene saperlo... visto che un domani, con l'aria che tira, potremmo essere noi dietro le sbarre!

X (S): Pesate col contagocce

Pesate col contagocce

Il problema della domenica appare subito ostico. Addirittura viene il dubbio che possa essere risolto. Ci si chiede se, avendo a disposizione una bilancia a due piatti, 12 monete apparentemente identiche di cui una falsa con un peso diverso dalle altre (o maggiore o minore non sappiamo), è possibile stabilire con 3 sole pesate quale sia la moneta falsa e se sia più pesante o leggera delle altre. 

La soluzione me l'ha detta un vecchio professore di Algebra, un signore molto particolare che nemmeno il più audace Nanni Moretti avrebbe potuto dipingere. Sembrava vivere in un mondo tutto suo, sempre accompagnato da un diligentissimo barboncino bianco. Le soluzioni più eleganti di problemi di algebra, probabilità e combinatoria sembrava le sognasse di notte. Non veniva spesso a tagliarsi i capelli da me, li aveva sempre scombinati come Beethowen nei classici ritratti pervenuti.

La soluzione è la seguente:

• Prima Pesata

Divido le monete in tre gruppi da 4 e ne confronto 2.

• Seconda Pesata

A questo punto abbiamo due possibilità: o la bilancia è in equilibrio oppure un piatto pesa più dell'altro.

2a Supponiamo che le otto monete confrontate pesino uguale. Quindi sono tutte buone e le indicheremo d'ora in poi con B. Mentre nel gruppo rimasto fuori ci deve essere quella falsa. Le quattro monete di questo gruppo le denoteremo con F.

Confrontiamo quindi in questa pesata tre delle false con tre delle buone. Cioè

FFF-BBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2a1  FFF<BBB

2a2  FFF>BBB

2a3  FFF=BBB

Consideriamo che si presenti il caso 2a1: vuol dire che tra le tre monete F, c'è quella falsa ed è più leggera delle altre. A questo punto basta prenderne due di quel gruppo di tre ed il finale è identico a quello del problema delle 9 monete: ne confronto una e una e se il piatto è in equilibrio, la moneta falsa è quella rimasta fuori. Altrimenti la moneta è quella che rimane nel piatto più alto della bilancia.

Se si presenta il caso 2a2, procediamo alla stessa maniera.

Se si presenta il caso 2a3, la moneta falsa è la F rimasta fuori. A questo punto la confronto con una buona B per capire se è più pesante o più leggera. 

Questo conclude il caso 2a.

2b Supponiamo che le quattro monete del piatto di destra siano più pesanti delle quattro monete del piatto di sinistra. 

Quindi la falsa potrebbe essere o tra le prime quattro (che indicheremo PPPP) se è più pesante, o tra le altre quattro (che indicheremo con LLLL) se è più leggera.

Con la seconda pesata confronto allora le monete scelte, tra buone, presunte pesanti e presunte leggere in questo modo:

PLLL-LBBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2b1  PLLL<LBBB

2b2  PLLL>LBBB

2b3  PLLL=LBBB

Se si presenta il caso 2b1 allora vuol dire che la moneta falsa è tra le tre L (più leggere). Allora ne prendo due e, come prima, le confronto. Se pesano uguale quella falsa era quella esclusa, altrimenti è quella più leggera tra le due.

Se si presenta il caso 2b2 allora vuol dire che o la moneta falsa è più leggera ed è la L del piatto di destra o è più pesante ed è la P del piatto di sinistra. Prendo un moneta buona B e la confronto con una delle due. Anche in questo caso dall'esito riesco a risalire alla moneta fasulla.

Se si presenta il caso 2b3 vuol dire che la moneta falsa è più pesante ed è una delle tre rimaste fuori del gruppo delle P. Ne prendo due e le confronto tra loro, arrivando anche in questo caso alla moneta falsa in sole tre pesate.

Tutto sommato non è nemmeno così difficile come sembrava in un primo tempo... mi chiedo se un pescatore con lobby della matematica sarebbe in grado di capirla... lo saprò presto!

Intanto lo saluto qui dalla bottega, che se è ancora aperta, è soprattutto merito suo!

X: Pesate con il contagocce

Pesate con il contagocce

Ogni tanto mi piace venire in bottega anche la domenica mattina. Non per un particolare attaccamento al lavoro, sia chiaro, ma per vivere quell'atmosfera di piazza che solo un paese sa darti la domenica mattina. La gente si incontra per fare una rendicontazione dettagliata di quello che ha vissuto durante la settimana, per svelare all'amico fidato le scommessa vincente su una partita di campionato, per respirare un po' di aria sana che solo la domenica mattina porta con sé.

Stavo rimettendo a posto un po' il locale quando due signori, poco fuori, discutevano animatamente. Sembrava un chiaro caso di truffa. Il signor Romano era andato a comprare della pasta fresca, dei ravioli fatti in casa. Aveva speso 9 euro, pagandoli con 9 monete da un'euro. Il signor Rossi, al bancone, che ne sa una più del diavolo, aveva il sospetto (forse per la poca stima e considerazione che da sempre celava nei confronti del signor Romano) che una di quelle monete fosse falsa. E non aveva mancato di dirglielo. 

"Ma le sembra possibile che vengono a comprare 9 euro di ravioli- di discutibile qualità aggiungerei- con dei soldi falsi?"

"Da lei ci sarebbe da aspettarsi questo e altro..."

"Non è possibile che siano falsi- aggiunse l'edicolante- per lo meno non tutti!"

"Come fai a saperlo?" chiese subito Rossi.

"Perché è venuto a comprare la Repubblica, e nel borsello aveva solo 1euro. Quindi mi ha pagato con una banconota da 10. 8 monete da un euro gliele ho date io..."

"Secondo me voleva rifilarti quella moneta... poi si è accorto che non arrivava a pagarti l'importo esatto con quella, così ora la vuole rifilare a me! Quindi in queste 9 monete c'è la sua moneta falsa..." commentava ad alta voce Rossi per farsi sentire da tutti, mettendo in cattiva luce il povero Romano.

"A guardarle- subentrai nella discussione- sembrano tutte uguali, non c'è che dire."

"Si- ma precisò l'edicolante- quelle false è risapute che vengono fatte con una particolare lega di ferro e sono di qualche grammo appena più pesanti"

"Beh poco male. C'è qui il sig. Rosciolo, orafo da sempre, che ha una bilancia di precisione. Chiediamo se ci fa controllare le monete." Questa la trovata del signore della pasta fresca.

"Ma voi lavorare un po' invece di rompere i coglioni di prima mattina?" salutò l'orefice "Che volete?"

"Vorremmo solo usare un attimo la tua bilancia di precisione per controllare alcune monete."

"Questa è una bilancia a due piatti, non ti dice il peso, ti confronto con esattezza i pesi dei due piatti, dicendoti se hanno lo stesso peso oppure uno, anche se solo di mezzo grammo, è più pesante o più leggero dell'altro. Non fa altro."

"Io penso che vi basti" commentai...

"Si ma visto che mi fate perdere tempo- aggiunse il sig. Rosciolo con l'anima sempre presente del mercante- vi faccio pagare 2€ a pesata. Almeno in ogni caso la prossima volta ci pensate prima di venire a darmi noia."

Il signor Rossi, pur di vedere umiliato e colto in fallo il suo compaesano, decise di accettare la proposta. Non esitò nemmeno un attimo. Divise le 9 monete in 3 gruppi da 3. Fece una prima pesata. Pensò un attimo. Fece una seconda pesata con una moneta per parte. E poi disse di aver trovato la moneta falsa... 

Il sistema usato dal commerciante di pasta fresca in effetti, al solo costo di 4€, sembrava funzionare! (ammesso che ci fosse la moneta falsa, povero sig. Romano!).

Qualcuno del paese aveva però sentito dire- chissà dove- che le nuove monete false, fatte ancora con maggior attenzione, avevano il peso di poco differente da quelle vere. Ma non si sapeva se tale peso fosse maggiore o minore dell'originale. 

In effetti io avevo ancora una bilancia a due piatti nel negozio (se lo sa il sig. Rossi dopo quanto ha dovuto spendere non mi vende più niente!). Il prezzo di un taglio qui da me è di 12 € (sono un barbiere onesto... a differenza del mio dirimpettaio). Se un cliente mi pagasse con 12 monete da un euro di cui una falsa, riuscirei con sole 3 pesate, a individuarla?

Molto probabilmente per un euro non avrei fatto tutto il casino del mio vicino di negozio... ma uno deve pur passare la domenica mattina e questo rompicapo mi sembra divertente.

Riassumiamo veloce la questione: abbiamo di fronte 12 monete perfettamente identiche. Una di esse però è falsa e pesa o poco di più o poco di meno delle altre. Per trovarla abbiamo a disposizione una bilancia a due piatti, che semplicemente confronta con precisione il peso del piatto di destra con il peso del piatto di sinistra. Con solo 3 pesate è possibile individuare la moneta fasulla e dire se è più leggera o più pesante delle altre?

IX (S): Vuole un taglio particolare?

Vuole un taglio particolare?

Il quesito con cui il signor Bernardino ci aveva lasciato l'ultima volta era molto affascinante. Si chiedeva se una torta (il cui spessore veniva considerato uniforme in tutta la sua superficie) di forma irregolare (immaginiamola come una superficie delimitata da una curva semplice chiusa), potesse essere divisa in quattro parti equivalenti con due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro.

La soluzione arrivò il giorno dopo, con il primo cliente della mattina (e a lui chi lo aveva detto il quesito? ma si sa il paese è piccolo). Un signore in apparenza simpatico. Brizzolato e con la barba da maestro di yoga. La soluzione, come disse lui, non può essere capita da tutti. Ci vuole di essere un po' del mestiere (quale?). Comunque ve la riporto, per come l'ho capita io. 

Il concetto fondamentale sui cui si basa è il teorema (scusate il termine non proprio da parrucchiere) degli zeri. Questo stabilisce che una funzione continua (oggi bisogna che usi le parole di questo signore se no poi quelli del mestiere si arrabbiano), se prima è positiva e poi è negativa- o viceversa- prima o poi vale anche a zero. Un po' come dire che se con l'ascensore parti dal piano -2 per arrivare al piano 4, devi per forza passare anche dal piano terra...

Partiamo da un preliminare (anche in matematica in genere si comincia così...). Prendiamo una superficie chiusa qualsiasi come quella in figura. Scegliamo una qualsiasi direzione del piano. Per semplicità (ma non cambierebbe nulla facendo diversamente) quella orizzontale. Facciamo vedere che esiste una retta r con quella direzione che taglia in due parti equivalenti la superficie. Chiamiamo A la parte della superficie sopra la retta e B quella sotto. E' facile vedere che queste due parti variano con continuità al variare della posizione della retta r (che è per esempio univocamente determinata dalla direzione e dalla distanza x dal punto più basso della superficie) nel piano. Definiamo f(x)=A(x)-B(x), ovvero la differenza delle superfici superiore e inferiore quando la retta r si trova a distanza x dalla parte più bassa. E' evidente che f(0)=A(0)> 0 in quanto  è uguale all'intera superficie (B(0)=0). Se calcoliamo la funzione nel punto "più in alto" della superficie, chiamiamolo h, sia ha f(h)=A(h)-B(h)=-B(h). Che è l'opposto dell'intera superficie. Quindi poiché in 0 e h la funzione f assume valore discordi, deve esistere un punto c con 0<c<h tale che f(c)=0, ovvero A(c)-B(c)=0. Ovvero A(c)=B(c). Non è difficile notare che la retta r in questione è unica! Questo conclude il preliminare. Attenzione a non stancarvi troppo con i preliminari perché se no vi perdete la parte interessante...

Abbiamo quindi fatto vedere che scelta una direzione posso trovare una (e una sola) retta con quella direzione che divide la superficie in due parti equivalenti. Posso quindi, applicando due volte questo ragionamento trovare due rette ortogonali tra loro (facciamo finta che siano proprio gli assi cartesiani) con tale proprietà. A questo punto la superficie risulta divisa in 4 regioni. Chiamiamole seguendo i quadranti del piano cartesiano A,B, C, D come nella figura che segue.

Poiché le rette x e y dividono la superficie in due parti uguali, è chiaro che

A+B= C+D e B+C=A+D. Da questi, con conti che ho capito persino io, si ricava che A=C e B=D.

A questo punto escogitiamo questo trucchetto. Chiamiamo x l'angolo che l'asse delle ascisse forma con l'orizzontale. Per ogni x è chiaro che posso trovare un sistema di assi cartesiani con l'asse delle ascisse inclinato di x rispetto all'orizzontale. Chiamo f(x)=A(x)-B(x). Consideriamo la situazione della figura sopra con x=0. Se f(0)=0, come nel preliminare, sarei arrivato alla conclusione cercata. Altrimenti, supponiamo che f(0)=A(0)-B(0)>0. Facciamo ruotare gli assi di 90 gradi in senso antiorario. Per l'unicità delle singole rette, gli assi, seppur con nomi invertiti, tornano a coincidere con quelli precedenti. Ma attenzione, perché avevamo detto il nome dei riquadri seguiva quello consueto di un sistema di riferimento cartesiano (intendo dire che la regione A è sempre quella che sta nel primo quadrante, la B nel secondo, e così via...). La situazione è quella nella figura che segue:

Calcoliamo f(90)=A(90)-B(90). Ma, confrontando le due figure, si osserva che A(90)=B(0) e B(90)=C(0). Quindi f(90)=B(0)-C(0). Ma avevamo detto che C=A, quindi f(90)=B(0)-A(0) che è esattamente l'opposto di f(0). Dal teorema degli zeri segue che esiste una angolo c tra 0 e 90 gradi, per il quale f(c)=0, ovvero che B(c)-A(c)=0, ovvero A(c)=B(c). Mettendo insieme questa uguaglianza a quelle sopra si ha che per questo angolo, il sistema cartesiano corrispondente, taglia la figura in quattro parti equivalenti. 

La spiegazione fu convincente... però avevo una domanda da fare ancora a questo simpatico signore. "Ho capito che, in linea teorica, è possibile farlo, ma come lo effettuo veramente un simile taglio...?"

"Dé...mica sarai pisano? te pensa a fare il barbiere... che a quest'altre cose meglio che ci si pensa noialtri!"

"A che serve sapere di poter fare una cosa, se uno comunque non sa come praticamente come farla? Pensa a questo fatto... tu potenzialmente potresti piparti Belen. E' facile dimostrare che ci sarebbero tutti i presupposti e gli attrezzi per farlo... ma poi in pratica..."

"... in pratica si rimane uomini di polso fino in fondo!"

Che personaggio!

IX: Vuole un taglio particolare?

Vuole un taglio particolare?

La giornata in bottega stava volgendo al termine. Non era successo niente di particolare tutto il giorno. I soliti clienti dell'inizio settimana, le solite smadonnate per le partite di calcio e la pesantezza insita in ogni inizio settimana. Mi chiedo spesso quante frustrazioni si eviterebbero semplicemente facendo iniziare la settimana da Giovedì o Venerdì... Prima o poi magari lo faranno.

La notizia che andava per la maggiore era quella del decadimento di un politico importante. Non ricordo il nome, non mi sono mai interessato a queste futilità. La conclusione però unanime di tutti i presenti fu una sorta di proprietà onto-commutativa: cambiando i politici al potere i risultati non cambiano. In pratica, gira che ti rigira, sono sempre loro a spartirsi la torta. Riescono sempre a trovare il modo di far quadrare i conti. Di tagliarla come meglio li aggrada. Forse stavo pensando ad alta voce visto che ad un tratto...

"Bella questa immagine della torta" mi rispose ad alta voce il cliente che stavo rasando.

"Beh, caro Bernardino, non è che sia una gran novità come immagine..." rispose stizzito uno che aspettava in una sedia.

"No, no... quello no... ma, mentre venivo accarezzato dal rasoio, con gli occhi chiusi sulla poltroncina, stavo immaginando questa torta... strana di forma... con quattro politici voraci intorno... che se la vogliono spartire..."

"Allora? Non vedi che è il solito magna magna?" Si aggiunse un terzo, distogliendo appena lo sguardo dal giornale.

"Quello che mi domandavo, visto le richieste esose dei nostri politici, era questo... si vogliono dividere questa torta in 4... ma non si accontentano di un'equa (ragioniamo semplicemente in termini di superficie) divisione, vogliono farlo con due tagli soltanto, semplici ed eleganti. Due tagli rettilinei e perpendicolari tra loro!"

"Ma drogarti come tutti? Un po' di sano alcolismo?" Replicò il signore di prima...

"Non mi sembra un quesito tanto complicato- intervenni quasi senza volerlo nell'accesa discussione- basta prendere la torta e fare un primo taglio seguendo un diametro e l'altro nel diametro perpendicolare al primo, no?"

"Beh- rispose subito Bernardino- quello lo puoi fare se la torta ha una superficie circolare (trascuriamo lo spessore, quello possiamo considerarlo uniforme)... quello che mi chiedevo io è se sia sempre possibile tagliare una torta, anche di forma irregolare, in 4 parti uguali, con due tagli rettilinei perpendicolari tra loro..."

"Ah... questo è un altro discorso... " Mi chiusi in un imbarazzato silenzio, soprattutto per aver dubitato che Bernardino, uomo noto per acume e intelligenza, avesse potuto proporre un quesito ridicolo come quello che avevo pensato all'inizio..."

La questione non è semplice... sempre che sia possibile. Se come al solito qualcuno ha un'idea, qui in bottega è sempre il benvenuto. 

VIII (S): Indovina chi viene a cena

Indovina chi viene a cena

E' passato un po' di tempo dall'ultima volta che ci siamo visti in bottega. Ho avuto un po' da fare nel frattempo: corsi di aggiornamento per nuove acconciature, seminari su balsami miracolosi, stage non retribuiti su come dare cento colpi di spazzola a qualche cliente arrivista... In una di queste trasferte, mentre ero a Londra, riferii il quesito dell'ultima volta ad un energumeno palestrato italiano che viveva da un po' di anni lì insegnando chimica, biologia e simili ai piccoli delinquenti inglesi. Un tipo simpatico, nonostante l'aspetto poco rassicurante. Sicuramente una brava persona.

Il quesito, per chi se lo fosse dimenticato (dubito!), era il seguente: quattro amici, due ragazzi e due ragazze, decidono di passare una serata divertente e vogliono avere tutti i rapporti etero possibili protetti. Dispongono però soltanto di due preservativi che, loro malgrado, sono costretti a usare più di una volta. Come devono fare per evitare rischi di possibili contagi.

 Il tipo italo-inglese si chiamava Andrea e, tanto divertito quanto incuriosito dall'insolita questione, propose la seguente elegante (come la cena) soluzione. Per semplicità chiamiamo i due maschi M1 e M2 e le due ragazze F1, F2. I due preservativi presentano in tutto quattro superfici separate, ognuna delle quali dovrà sempre entrare in contatto con la stessa persona. Basterà procedere così: M1 si mette entrambi i preservativi, uno sopra l'altro (se così facendo, si ha una sostanziale aumento delle dimensioni dell'attrezzo, porsi qualche problema...), e andrà con F1. Quindi si toglie il preservativo più esterno e va con F2. In questo modo lui ha utilizzato una sola superficie del primo preservativo mentre le ragazze le due superfici esterne di entrambi. A questo punto M2 prende il preservativo che si è tolto all'inizio M1 (la cui superficie interna era stata a contatto soltanto con il preservativo interno) e va con F1 (che quindi riusa la stessa superficie), poi infila l'altro preservativo sopra a quest'ultimo e va con F2. Così è risolto il problema.

Convinti? Provare per credere!