Fidarsi è bene...
Il problema riguardante il sorteggio a distanza per quale giocatore dovesse fare la prima mossa in una partita a scacchi via internet è il seguente: avendo a disposizione soltanto un pc, con relativa calcolatrice, è possibile trovare un metodo per avere un sorteggio equo tra due persone? O meglio, si riesce, tramite l'aritmetica, a simulare il lancio di una moneta?
Nel negozio stava aspettando pazientemente il suo turno leggendo un giornale un signore canuto con uno spiccato accento francese. Si chiamava Marco e si autodefiniva un esperto di matematica. Ascoltando la conversazione il suo sguardo ebbe come un lampo subitaneo che lo attrasse quasi suo malgrado dentro alla discussione.
"La risposta è nei numeri primi. Possiamo utilizzare un metodo che assomiglia molto a quello utilizzato per proteggere i nostri conti in banca e le nostre password."
"Cioè mettere i pallini neri al posto delle lettere e dei numeri" tentò di intromettersi l'ingenuo scacchista.
Ma, fingendo di non avere ascoltato, il vecchietto proseguì:
"Ogni numero primo, eccetto il 2, è dispari, di conseguenza quando si divide per 4 i due possibili resti sono 1 o 3. Queste due tipologie di numeri (i matematici più audaci possono tentare la dimostrazione) hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali. Ovvero sono due insiemi infiniti."
Faccio fatica a capire dove vuole andare a parare.
"Il fatto che i numeri primi si dividano in questi due gruppi, ci potrebbe suggerire l'idea di associare- ad esempio- l'evento Esce testa a quelli che divisi per 4 danno resto 1 e l'evento Esce croce a quelli che divisi per 4 danno resto 3."
"Beh non mi sembra una grande idea in ogni caso." Mi permetto di osservare. "Una volta che uno sceglie un numero primo, per quanto grande, è facile capire qual è il suo resto quando viene diviso per 4... basta controllare le ultime due cifre..."
"Si questo è vero, prendendo un numero primo soltanto la situazione non sembra migliorare. Ma osserva che succede se prendiamo due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 e li moltiplichiamo tra loro."
"Che succede?"
"Se un numero diviso per 4 dà resto 1 vuol dire che è della forma: 4n+1 con n numero naturale. Allora siano 4a+1 e 4b+1 questi due numeri. Moltiplicandoli si ottiene:
(4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1.
Quindi moltiplicando due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 si ottiene ancora un numero che diviso per 4 dà resto 1."
Bah se l'età fa questo effetto mi comincio a preoccupare da subito...
"E ora prendiamo due numeri dell'altro gruppo, quelli che divisi per 4 danno resto 3 e moltiplichiamoli tra loro. Che succede?"
"Se ho capito bene- intervenne lo scacchista sprovveduto- daranno un numero che diviso per 4 dà resto 3..."
Ancora facendo finta di non sentire, ma visibilmente irritato, proseguì:
"Se un numero diviso per 4 dà resto 3 vuol dire che è della forma 4n+3, con n numero naturale. Allora siano 4a+3 e 4b+3 questi due numeri e come prima moltiplichiamoli:
(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=16ab+12a+12b+8+1=4(4ab+3a+3b+2)+1
Quindi moltiplicando due numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 si ottiene anche in questo caso un numero che diviso per 4 dà resto 1!"
Forse la luce in fondo al tunnel...
"Quindi per fare un sorteggio via chat possiamo metterci d'accordo in questo modo. Stabiliamo come prima a quale gruppo di primi associare l'evento Testa e a quale quello Croce. Dopodiché io prendo due numeri primi da uno stesso gruppo, a mio piacere, molto grandi e, aiutandomi con la calcolatrice del pc, li moltiplico tra loro. Invio il risultato tramite chat al mio avversario che, in meno di 5 secondi (per evitare dubbi sull'utilizzo di altri software collaterali) mi deve dire se sceglie testa o croce (o similmente primi con resto 1 o primi con resto 3). Una volta che il mio avversario ha fatto la sua scelta io gli spedisco via chat i due primi che ho moltiplicato tra loro. Se i due primi erano del gruppo che aveva scelto lui, spetta a lui fare la prima mossa, altrimenti i bianchi toccheranno a me."
Però... mica male il vecchietto!
Riflettevo tra me e me sul perché prendere i numeri primi per fare una cosa del genere quando in fondo posso fare un ragionamento del tutto identico usando al loro posto due numeri dispari qualsiasi (il che bypassa completamente un dettaglio non trascurabile come la dimostrazione- la prima delle quali dovuta a Dirichlet- del fatto che ci siano tanti numeri primi che divisi per 4 danno resto 1 quanto quelli che divisi per 4 danno resto 3... ).
Il problema è che se si prendono due numeri dispari non primi le scomposizioni in coppie di fattori non è più unica... e forse c'è il rischio di avere trovato un rimedio peggiore del male.
E che la vecchiaia porti anche a me un po' di saggezza...
