Le dita del marziano
In diversi in questi giorni mi hanno scritto per commentare e discutere la soluzione del problema dell'alieno della Lezione n.2, Esercizio n. 2, pag. 34.
Riporto per intero il testo del problema, tratto dai quesiti di ingresso alla normale.
Un marziano, dopo aver visto scritta l’equazione:
x2 −16x + 41 = 0,
invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive 10. Quante dita hanno i marziani? Si sa (non mi chiedete come!) che per i numeri tra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra e che i marziani, sempre come noi, hanno due mani!
Il problema ci chiede quindi di individuare la base con cui contano i marziani.
Data un'equazione di secondo grado: ax2 +bx + c = 0 conosciamo la formula risolutiva e potremmo provare ad attaccare il problema con quella.
Ci accorgiamo subito che, dal momento che non conosciamo la base, ci resta complicato sia calcolare il quadrato di un numero, sia fare somme, differenze e moltiplicazioni di due.
Possiamo però tentare un'altra strada. Conosciamo le relazioni che legano, indipendentemente dalla base, le soluzioni ai coefficienti dell'equazione stessa. In particolare sappiamo che:
L'ultima cosa che ci resta da capire è come interpretare i coefficiente scritti nella base da trovare. Questo è abbastanza semplice. Pensiamo cosa vuol dire in base 10 la scrittura 38, 3 volte 10 + 8, così come in base 2 la scrittura 11 sta per una volta 2 +1. Allora i coefficienti che compaiono nell'equazioni, supponendo la base incognita B, li possiamo pensare come:
16 = B+6 e 41 = 4B+1. La differenza indicata dal marziano come 10 sarà semplicemente B.
A questo punto serve solo un po' di pazienza per mettere tutte le informazioni a sistema e risolvere:
Da cui si ricavano le due soluzioni: x1=3, x2 =11 e B=8. Quindi i marziani hanno 8 dita!
Buona lettura e buona vita,
CM
