X (S): Pesate col contagocce

Pesate col contagocce

Il problema della domenica appare subito ostico. Addirittura viene il dubbio che possa essere risolto. Ci si chiede se, avendo a disposizione una bilancia a due piatti, 12 monete apparentemente identiche di cui una falsa con un peso diverso dalle altre (o maggiore o minore non sappiamo), è possibile stabilire con 3 sole pesate quale sia la moneta falsa e se sia più pesante o leggera delle altre. 

La soluzione me l'ha detta un vecchio professore di Algebra, un signore molto particolare che nemmeno il più audace Nanni Moretti avrebbe potuto dipingere. Sembrava vivere in un mondo tutto suo, sempre accompagnato da un diligentissimo barboncino bianco. Le soluzioni più eleganti di problemi di algebra, probabilità e combinatoria sembrava le sognasse di notte. Non veniva spesso a tagliarsi i capelli da me, li aveva sempre scombinati come Beethowen nei classici ritratti pervenuti.

La soluzione è la seguente:

• Prima Pesata

Divido le monete in tre gruppi da 4 e ne confronto 2.

• Seconda Pesata

A questo punto abbiamo due possibilità: o la bilancia è in equilibrio oppure un piatto pesa più dell'altro.

2a Supponiamo che le otto monete confrontate pesino uguale. Quindi sono tutte buone e le indicheremo d'ora in poi con B. Mentre nel gruppo rimasto fuori ci deve essere quella falsa. Le quattro monete di questo gruppo le denoteremo con F.

Confrontiamo quindi in questa pesata tre delle false con tre delle buone. Cioè

FFF-BBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2a1  FFF<BBB

2a2  FFF>BBB

2a3  FFF=BBB

Consideriamo che si presenti il caso 2a1: vuol dire che tra le tre monete F, c'è quella falsa ed è più leggera delle altre. A questo punto basta prenderne due di quel gruppo di tre ed il finale è identico a quello del problema delle 9 monete: ne confronto una e una e se il piatto è in equilibrio, la moneta falsa è quella rimasta fuori. Altrimenti la moneta è quella che rimane nel piatto più alto della bilancia.

Se si presenta il caso 2a2, procediamo alla stessa maniera.

Se si presenta il caso 2a3, la moneta falsa è la F rimasta fuori. A questo punto la confronto con una buona B per capire se è più pesante o più leggera. 

Questo conclude il caso 2a.

2b Supponiamo che le quattro monete del piatto di destra siano più pesanti delle quattro monete del piatto di sinistra. 

Quindi la falsa potrebbe essere o tra le prime quattro (che indicheremo PPPP) se è più pesante, o tra le altre quattro (che indicheremo con LLLL) se è più leggera.

Con la seconda pesata confronto allora le monete scelte, tra buone, presunte pesanti e presunte leggere in questo modo:

PLLL-LBBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2b1  PLLL<LBBB

2b2  PLLL>LBBB

2b3  PLLL=LBBB

Se si presenta il caso 2b1 allora vuol dire che la moneta falsa è tra le tre L (più leggere). Allora ne prendo due e, come prima, le confronto. Se pesano uguale quella falsa era quella esclusa, altrimenti è quella più leggera tra le due.

Se si presenta il caso 2b2 allora vuol dire che o la moneta falsa è più leggera ed è la L del piatto di destra o è più pesante ed è la P del piatto di sinistra. Prendo un moneta buona B e la confronto con una delle due. Anche in questo caso dall'esito riesco a risalire alla moneta fasulla.

Se si presenta il caso 2b3 vuol dire che la moneta falsa è più pesante ed è una delle tre rimaste fuori del gruppo delle P. Ne prendo due e le confronto tra loro, arrivando anche in questo caso alla moneta falsa in sole tre pesate.

Tutto sommato non è nemmeno così difficile come sembrava in un primo tempo... mi chiedo se un pescatore con lobby della matematica sarebbe in grado di capirla... lo saprò presto!

Intanto lo saluto qui dalla bottega, che se è ancora aperta, è soprattutto merito suo!

X: Pesate con il contagocce

Pesate con il contagocce

Ogni tanto mi piace venire in bottega anche la domenica mattina. Non per un particolare attaccamento al lavoro, sia chiaro, ma per vivere quell'atmosfera di piazza che solo un paese sa darti la domenica mattina. La gente si incontra per fare una rendicontazione dettagliata di quello che ha vissuto durante la settimana, per svelare all'amico fidato le scommessa vincente su una partita di campionato, per respirare un po' di aria sana che solo la domenica mattina porta con sé.

Stavo rimettendo a posto un po' il locale quando due signori, poco fuori, discutevano animatamente. Sembrava un chiaro caso di truffa. Il signor Romano era andato a comprare della pasta fresca, dei ravioli fatti in casa. Aveva speso 9 euro, pagandoli con 9 monete da un'euro. Il signor Rossi, al bancone, che ne sa una più del diavolo, aveva il sospetto (forse per la poca stima e considerazione che da sempre celava nei confronti del signor Romano) che una di quelle monete fosse falsa. E non aveva mancato di dirglielo. 

"Ma le sembra possibile che vengono a comprare 9 euro di ravioli- di discutibile qualità aggiungerei- con dei soldi falsi?"

"Da lei ci sarebbe da aspettarsi questo e altro..."

"Non è possibile che siano falsi- aggiunse l'edicolante- per lo meno non tutti!"

"Come fai a saperlo?" chiese subito Rossi.

"Perché è venuto a comprare la Repubblica, e nel borsello aveva solo 1euro. Quindi mi ha pagato con una banconota da 10. 8 monete da un euro gliele ho date io..."

"Secondo me voleva rifilarti quella moneta... poi si è accorto che non arrivava a pagarti l'importo esatto con quella, così ora la vuole rifilare a me! Quindi in queste 9 monete c'è la sua moneta falsa..." commentava ad alta voce Rossi per farsi sentire da tutti, mettendo in cattiva luce il povero Romano.

"A guardarle- subentrai nella discussione- sembrano tutte uguali, non c'è che dire."

"Si- ma precisò l'edicolante- quelle false è risapute che vengono fatte con una particolare lega di ferro e sono di qualche grammo appena più pesanti"

"Beh poco male. C'è qui il sig. Rosciolo, orafo da sempre, che ha una bilancia di precisione. Chiediamo se ci fa controllare le monete." Questa la trovata del signore della pasta fresca.

"Ma voi lavorare un po' invece di rompere i coglioni di prima mattina?" salutò l'orefice "Che volete?"

"Vorremmo solo usare un attimo la tua bilancia di precisione per controllare alcune monete."

"Questa è una bilancia a due piatti, non ti dice il peso, ti confronto con esattezza i pesi dei due piatti, dicendoti se hanno lo stesso peso oppure uno, anche se solo di mezzo grammo, è più pesante o più leggero dell'altro. Non fa altro."

"Io penso che vi basti" commentai...

"Si ma visto che mi fate perdere tempo- aggiunse il sig. Rosciolo con l'anima sempre presente del mercante- vi faccio pagare 2€ a pesata. Almeno in ogni caso la prossima volta ci pensate prima di venire a darmi noia."

Il signor Rossi, pur di vedere umiliato e colto in fallo il suo compaesano, decise di accettare la proposta. Non esitò nemmeno un attimo. Divise le 9 monete in 3 gruppi da 3. Fece una prima pesata. Pensò un attimo. Fece una seconda pesata con una moneta per parte. E poi disse di aver trovato la moneta falsa... 

Il sistema usato dal commerciante di pasta fresca in effetti, al solo costo di 4€, sembrava funzionare! (ammesso che ci fosse la moneta falsa, povero sig. Romano!).

Qualcuno del paese aveva però sentito dire- chissà dove- che le nuove monete false, fatte ancora con maggior attenzione, avevano il peso di poco differente da quelle vere. Ma non si sapeva se tale peso fosse maggiore o minore dell'originale. 

In effetti io avevo ancora una bilancia a due piatti nel negozio (se lo sa il sig. Rossi dopo quanto ha dovuto spendere non mi vende più niente!). Il prezzo di un taglio qui da me è di 12 € (sono un barbiere onesto... a differenza del mio dirimpettaio). Se un cliente mi pagasse con 12 monete da un euro di cui una falsa, riuscirei con sole 3 pesate, a individuarla?

Molto probabilmente per un euro non avrei fatto tutto il casino del mio vicino di negozio... ma uno deve pur passare la domenica mattina e questo rompicapo mi sembra divertente.

Riassumiamo veloce la questione: abbiamo di fronte 12 monete perfettamente identiche. Una di esse però è falsa e pesa o poco di più o poco di meno delle altre. Per trovarla abbiamo a disposizione una bilancia a due piatti, che semplicemente confronta con precisione il peso del piatto di destra con il peso del piatto di sinistra. Con solo 3 pesate è possibile individuare la moneta fasulla e dire se è più leggera o più pesante delle altre?