VI (S): Monete truccate
Quante volte abbiamo avuto l'impressione che un sorteggio fosse stato fatto con troppa leggerezza? Per non usare apertamente il termine "pilotato"? Lo scacchista ingenuo sembra vittima della malafede del coinquilino, che, per sfruttare la sua superiorità tecnica con i bianchi, al momento del sorteggio del colore, lo ha convinto ad utilizzare per tale operazione la sua moneta, che, statistiche alla mano, non sembra troppo regolare.
Il quesito di oggi era proprio questo: è possibile, utilizzando una moneta truccata, effettuare un sorteggio equo tra due contendenti? Per truccata si intende che le due facce (testa e croce) non hanno (necessariamente) la stessa probabilità di presentarsi e per equo che ognuno dei due contendenti ha le stesse probabilità dell'altro di uscire vittorioso dal sorteggio.
La domanda quantomeno insolita, trova risposta in semplici nozioni di probabilità elementare.
Supponiamo che la moneta sia truccata in questo modo: la probabilità dell'evento "esce testa" è p e, di conseguenza, quella dell'evento "esce croce" è 1-p.
Supponiamo che la moneta sia truccata in questo modo: la probabilità dell'evento "esce testa" è p e, di conseguenza, quella dell'evento "esce croce" è 1-p.
E' chiaro che effettuando un solo lancio della moneta, non possiamo venire a capo della situazione.
Lanciando una sola volta la moneta i due eventi sono equiprobabili soltanto quando p=0,5. Ma questo non sembrerebbe il caso.
I due giocatori potrebbero trovare allora il seguente accordo. La moneta viene lanciata due volte: se si presenta in sequenza Testa-Croce vince il primo, se invece si presenta Croce-Testa vince il secondo. Qualora esca due volte consecutive la stessa faccia non vince nessuno e si rieffettuano i due lanci.
Vediamo perché questa soluzione (soltanto una delle possibili ovviamente) pone fine al problema.
L'esito di un singolo lancio è indipendente dall'altro. Quindi la probabilità che esca
i) Testa-Croce è p x (1-p)
ii) Croce-Testa (1-p) x p
Grazie alla commutatività del prodotto, è immediato constatare che i due eventi sono equiprobabili. Così facendo, l'ingenuo scacchista, forse, eviterà qualche volta di lavare i piatti. Dico forse, perché se la sua intuizione non lo ha portato prima a smascherare l'inganno, dubito un pochino anche delle sue doti di deduzione scacchistica...
Vediamo perché questa soluzione (soltanto una delle possibili ovviamente) pone fine al problema.
L'esito di un singolo lancio è indipendente dall'altro. Quindi la probabilità che esca
i) Testa-Croce è p x (1-p)
ii) Croce-Testa (1-p) x p
Grazie alla commutatività del prodotto, è immediato constatare che i due eventi sono equiprobabili. Così facendo, l'ingenuo scacchista, forse, eviterà qualche volta di lavare i piatti. Dico forse, perché se la sua intuizione non lo ha portato prima a smascherare l'inganno, dubito un pochino anche delle sue doti di deduzione scacchistica...
