Nuovo criterio di divisibilità per 7
E' di questi giorni la notizia che un bambino inglese, Chika Ofili, di 12 anni ha scoperto un nuovo criterio di divisibilità per 7, sconosciuto finora (certo, se no non lo avrebbe scoperto!).
Tale criterio stabilisce che
Chiamiamo n il numero di cui vogliamo testare la divisibilità per 7. Siano la sua ultima cifra (quella delle unità) e il numero che si ottiene da , privandolo della sua ultima cifra. Allora, è divisibile per se e solo se lo è il numero
Dovevo passare un po' di tempo, nell'attesa del pranzo, così ho deciso di provare a provare tale affermazione.
Essendo un "se e solo se" dobbiamo dimostrare due implicazioni. Cominciamo.
Dimostrazione del nuovo criterio di divisibilità per 7
Con la notazione scritta sopra, proviamo che se 7 divide C (lo indicherò con 7|C) allora 7 divide n (lo indicherò con 7|n). Più brevemente: se 7|C allora 7|n.
Il numero n è chiaramente uguale 10 per N più L, cioè n = 10N+L.
Sappiamo che 7|C cioè che 7|(N+5L), allora sarà anche vero che 7|10(N+5L).
Ovvero 7|(10N+50L), quindi 7|(49L + 10N+L). Poiché chiaramente 7|49L deve essere anche
7|(10N+L), ovvero che 7|n
Proviamo l'implicazione contraria con un ragionamento del tutto simile.
Supponiamo che 7|n e proviamo 7|C.
7|n(=10N+L) ma allora 7|5(10N+L) che vuol dire che 7|(50N+5L), il che implica che
7|(49N+ N+5L). Poiché 7|49N, segue che 7|(N+5L), ovvero che 7|C.
CVD
