X (S): Pesate col contagocce

Pesate col contagocce

Il problema della domenica appare subito ostico. Addirittura viene il dubbio che possa essere risolto. Ci si chiede se, avendo a disposizione una bilancia a due piatti, 12 monete apparentemente identiche di cui una falsa con un peso diverso dalle altre (o maggiore o minore non sappiamo), è possibile stabilire con 3 sole pesate quale sia la moneta falsa e se sia più pesante o leggera delle altre. 

La soluzione me l'ha detta un vecchio professore di Algebra, un signore molto particolare che nemmeno il più audace Nanni Moretti avrebbe potuto dipingere. Sembrava vivere in un mondo tutto suo, sempre accompagnato da un diligentissimo barboncino bianco. Le soluzioni più eleganti di problemi di algebra, probabilità e combinatoria sembrava le sognasse di notte. Non veniva spesso a tagliarsi i capelli da me, li aveva sempre scombinati come Beethowen nei classici ritratti pervenuti.

La soluzione è la seguente:

• Prima Pesata

Divido le monete in tre gruppi da 4 e ne confronto 2.

• Seconda Pesata

A questo punto abbiamo due possibilità: o la bilancia è in equilibrio oppure un piatto pesa più dell'altro.

2a Supponiamo che le otto monete confrontate pesino uguale. Quindi sono tutte buone e le indicheremo d'ora in poi con B. Mentre nel gruppo rimasto fuori ci deve essere quella falsa. Le quattro monete di questo gruppo le denoteremo con F.

Confrontiamo quindi in questa pesata tre delle false con tre delle buone. Cioè

FFF-BBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2a1  FFF<BBB

2a2  FFF>BBB

2a3  FFF=BBB

Consideriamo che si presenti il caso 2a1: vuol dire che tra le tre monete F, c'è quella falsa ed è più leggera delle altre. A questo punto basta prenderne due di quel gruppo di tre ed il finale è identico a quello del problema delle 9 monete: ne confronto una e una e se il piatto è in equilibrio, la moneta falsa è quella rimasta fuori. Altrimenti la moneta è quella che rimane nel piatto più alto della bilancia.

Se si presenta il caso 2a2, procediamo alla stessa maniera.

Se si presenta il caso 2a3, la moneta falsa è la F rimasta fuori. A questo punto la confronto con una buona B per capire se è più pesante o più leggera. 

Questo conclude il caso 2a.

2b Supponiamo che le quattro monete del piatto di destra siano più pesanti delle quattro monete del piatto di sinistra. 

Quindi la falsa potrebbe essere o tra le prime quattro (che indicheremo PPPP) se è più pesante, o tra le altre quattro (che indicheremo con LLLL) se è più leggera.

Con la seconda pesata confronto allora le monete scelte, tra buone, presunte pesanti e presunte leggere in questo modo:

PLLL-LBBB

Si possono presentare anche qui tre casi:

2b1  PLLL<LBBB

2b2  PLLL>LBBB

2b3  PLLL=LBBB

Se si presenta il caso 2b1 allora vuol dire che la moneta falsa è tra le tre L (più leggere). Allora ne prendo due e, come prima, le confronto. Se pesano uguale quella falsa era quella esclusa, altrimenti è quella più leggera tra le due.

Se si presenta il caso 2b2 allora vuol dire che o la moneta falsa è più leggera ed è la L del piatto di destra o è più pesante ed è la P del piatto di sinistra. Prendo un moneta buona B e la confronto con una delle due. Anche in questo caso dall'esito riesco a risalire alla moneta fasulla.

Se si presenta il caso 2b3 vuol dire che la moneta falsa è più pesante ed è una delle tre rimaste fuori del gruppo delle P. Ne prendo due e le confronto tra loro, arrivando anche in questo caso alla moneta falsa in sole tre pesate.

Tutto sommato non è nemmeno così difficile come sembrava in un primo tempo... mi chiedo se un pescatore con lobby della matematica sarebbe in grado di capirla... lo saprò presto!

Intanto lo saluto qui dalla bottega, che se è ancora aperta, è soprattutto merito suo!